高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理（第1课时）余弦定理学案新人教A版.docx

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1、第1课时　余弦定理考点学习目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝b2＋c2－2bccos__Ab2＝a2＋c2－2accos__Bc2＝a2＋b2－2abcos__C■名师点拨余弦定理的理解(1)适用范

2、围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论cosA＝；cosB＝；cosC＝．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的

3、几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　)(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　)(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　)(5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝，则角C等于(　　)A．1

4、20°　　　　　　　　　B．90°C．60°D．45°解析：选A.由余弦定理，得cosC＝＝＝－，所以C＝120°，故选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B等于(　　)A.　　B.C.或D.或解析：选A.由余弦定理知a2＋c2－b2＝2accosB，因为a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝，故B＝.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________．解析：由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，所以c＝.答案：已知两边及一角解三角形　(1)(2018·高考

5、全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)A．4　　　　　　　　　B.C.D．2(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A.　　B.C．2D．3【解析】　(1)因为cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.(2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcosA，因为cosA＝，所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3.故选D.【答案】　(1)A　(2)D[变

6、条件]将本例(2)中的条件“a＝，c＝2，cosA＝”改为“a＝2，c＝2，cosA＝”，求b为何值？解：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　　在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×

7、cos45°＝8，所以b＝2.又因为cosA＝＝＝，所以A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知三边(三边关系)解三角形　(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　)A．90°B．120°C．135°　D．150°(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)A．90°　B．60°C．120°D．150°【解析】　(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，所以最大角为B，最小角为A，所以cosC＝＝＝，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和

8、为120°.故选B.(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝.因为A∈(0°，180°