高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理（第4课时）三角形中的几何计算学案新人教A版.docx

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1、第4课时三角形中的几何计算考点学习目标核心素养有关三角形面积的计算掌握三角形的面积公式的简单推导和应用逻辑推理、数学运算三角形的综合问题能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题数学运算问题导学预习教材P53T10和P54T18两个题目，思考以下问题：如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？三角形的面积公式(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)．(2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB.(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径)．■名师点拨三角形的面积公式S＝absinC与原来的面积公

2、式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝bsinC，实质上bsinC就是△ABC中a边上的高．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．()(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．()(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．()答案：(1)√(2)×(3)×在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.B.C.D．2解析：选B.S△ABC＝AB·ACsinA＝×1×2×＝.已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A＝()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：

3、选D.由S△ABC＝bcsinA＝，得sinA＝，sinA＝，由0°

4、＝________，b＝________．【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝＝＝6.又因为C＝180°－120°－30°＝30°，所以S△ABC＝×6×6×＝9.(2)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4，联立方程组，解得a＝2，b＝2.【答案】(1)C(2)22三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关

5、系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()A．12B．C．28D．6解析：选D.在△ABC中，由余弦定理可得64＝49＋9－2×7×3cosC，所以cosC＝－，所以sinC＝，所以S△ABC＝absinC＝6，故选D.2．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A．B．5C．6D．7解析：选B.连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DB

6、C＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC，知BD2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin120°＝5.3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为________．解析：由S△ABC＝bcsinA＝csin60°＝，得c＝4，因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8cos60°＝13，所以a＝.答案：三角形中的线段长度和角度的计算已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝

7、1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．【解】(1)连接BD，则由题设及余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝sin60°＝2.三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，

8、发现图形中较隐蔽的几何条