巧建模　简解题.doc

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1、巧建模简解题枣阳二中侯丽数学建模是联系数学与实际问题的桥梁.应用数学去解决实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.适当的建立数学模型:把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构,再通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用熟知的数学理论和方法去分析和解决问题,往往有事半功倍之效.例1.已知正四面体S-ABC的棱长为a，求与正四面体S-ABC的所有棱都相切的球的表面积．分析：建立模型：在棱长为a的正方体中，每个面的面对角线长为

2、a，而正四面体S-ABC即由此正方体的如图所示的四条面对角线组成．因为正方体的内切球与正方体内切于各面的中心，而各面的中心正是正四面体各棱的中点,所以可简洁、巧妙的求出与正四面体S-ABC的所有棱都相切的球的直径即为正方体的棱长．则所求的球的表面积为．点评：有关正方体的内切球问题是同学们非常熟悉的问题．结合它的性质、特点，可快速准确的分析本题．ＭＣＤＡ例2．考虑正八面体的六个顶点．甲从这六个顶点中任意选两个点连成直线，乙也从这六个点中选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率是（）ＢA．B．C．D．Ｎ分析：建立模型：正

3、八面体的六个顶点可看作正方体的六个面的中心．如图所示：在正方体中，不难发现，此正八面体的=15条直线中，两两平行的是MA与NC，MB与ND，MC与NA，MD与NB，AD与BC，AB与CD这六组，所以甲、乙只能选这六组中其中一组的两条线，那么满足题意的选法一共有=12种．因此所得两条直线相互平行但不重合的概率P==．答案为D．点评：在正八面体中，平行线有哪几组还不易发现，但若落在正方体的模型中，线线关系就一目了然了．例3.（2009年高考江西卷理科第9题）如图：正四面体ABCD的顶点A.B.C分别在两两垂直的三条射线ox,oy,oz上

4、。则在下列命题中错误的为（）A．O-ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D.二面角D-OB-A为45°分析：因为OA、ＯＢ、ＯＣ两两垂直，且ＡＢＣＤ为正四面体，所以可以以ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ为同一顶点出发的三条棱构建一个正方体，让正四面体内接于正方体．而正方体是同学们所熟悉的基本图形，不难得出答案为B．点评：本题看似是个“冷”题，但若注意OA、ＯＢ、ＯＣ两两垂直，就易想到补体得到一个正方体，而正四面体恰巧“卡”在正方体中，那么解决其中点线面的关系就易如反掌了.例4.（创新意识、2008浙江，10）如

5、图：AB是平面的斜线段，A是斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定植，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线分析：在△ABC中，点P为动点，而AB为定长，要使三角形的面积为定值，只需点P到直线AB的距离为定值．而在数学模型中，动点到定值线的距离d为定值的点的轨迹是以这条定值线为轴,半径为d的圆柱，那么点P的轨迹就是此圆柱的侧面上的每一个点，但点P又要在平面上，则P就在平面截圆柱的截面上．因此答案为B．以上几题都是看似相对平时练习较难的一些题型，但若仔细观察，就可建立熟知的模型来寻找题目中所需的条件，

6、以期做到化难为易．建立熟知的数学模型是中学数学的重要思想方法，它不仅给我们解题带来极大方便，而且更有利于提高思维、创造能力．