复变函数(第四版)课件--章节3.2.ppt

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1、§3.2复变函数积分的重要定理一Cauchy-Goursat定理二复合闭路变形原理三Newton-Libnize公式四Cauchy积分公式五高阶导数公式六总结七作业习题引言：积分与路径无关的刻画在单连通区域D内，积分与路径L无关的充分必要条件是：Cauchy-Goursat定理柯西-古萨定理例1解根据柯西-古萨定理,有例2解函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有例3解根据柯西－古萨定理得二复合闭路变形原理柯西古萨定理的推广当闭合曲线内部包围被积函数的奇点，该积分通常不为零，但仍有一定的规律可以研究。1闭路变形原理2复合闭路变形原

2、理1闭路变形原理本定理直观意义为函数沿闭曲线积分,闭曲线在区域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变。即可看作柯西-古萨定理的推广2复合闭路变形原理称C+C1-+C2-+···+Cn-为复围线,记为Γ，包围着绿色复连通区域D。函数f(z)在绿色复连通区域D解析，紫色阴影是函数的奇点。设C为简单闭曲线，Ci(i=1,2…n)是在C内部的简单闭曲线，互不相交互不包含，C的内部与诸Ci的外部围成绿色复连通区域D则成立:本定理直观意义为函数沿闭曲线积分,闭曲线作连续变形而不经过奇点，可以断裂为多段闭曲线，而积分值不变。可看作柯西古萨定理的推广解

3、依题意知,例4根据复合闭路定理例5解由复合闭路定理,三Newton-Libnize公式1原函数不定积分变上限函数Newton-Libnize公式(N-L)1原函数定义2不定积分定义f(z)的全部原函数称为f(z)的不定积分，记为：例如：3变上限函数4Newton-Libnize公式(N-L公式)例6解凑微分法，第一换元法例8分部积分法例9解定理设函数f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则四Cauchy积分公式第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在

4、被积函数解析式的分母。此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1例10五高阶导数公式定理设函数f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则f(z)的导函数仍为解析函数，f(z)的n阶导数为第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当n=0时的情形。等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里(z-z0)n的系数。例11例12提示：曲线包围2个奇点，先用复合闭

5、路变形原理化简六总结：本节五个定理都是为积分计算服务1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点的积分。2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式).3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有多个奇点的积分。4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。七作业习题第三章习题7，8，9题有点多啊！Classisover玩去咯！