复变函数(第四版)课件章节--4.2

《复变函数(第四版)课件章节--4.2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§4.2幂级数1、幂级数的概念2、幂级数的收敛圆与收敛半径3、幂级数的收敛半径的求法4、幂级数的运算和性质5、典型例题与小结（1）幂级数的定义：1、幂级数的概念定义1设复变函数项级数f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:定义2：具有形式的复函数项级数称为幂级数,其中c0,c1,c2,…,a都是复常数.（2）幂级数的敛散性：若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式定理一（阿贝尔定理）：

2、如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:

3、z-a

4、<

5、z1-z

6、(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛证:设z是所述圆内任意点.因为(n=0,1,2,…),注意到

7、z-a

8、<

9、z1-a

10、,故级数a收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使收敛推论。若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.az1z2在圆K内绝对收敛.其敛散性有以下三种情况:(1)对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.2.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,首先它在z=a点处总是收敛的，例如,级数对任意

11、固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.(2)除z=a外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.例如,级数通项不趋于零,故级数发散.(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据阿贝尔定理的第一部分知,它必在圆周

12、z-a

13、=

14、z1-a

15、内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使级数发散.根据推论知,它必在圆周

16、z-a

17、=

18、z2-a

19、外部发散..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以a点为中心的圆域.收敛圆周定理二.如果幂级数(4.3)的系数cn满足(比值法）或（根值法）或3、幂级数的收敛半径的求法则幂级数的收敛半径为:R=1/l(l≠0

20、,l≠+∞)0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4)定理三(1)幂级数(4.3)的和函数f(z)在其收敛圆K:

21、z-a

22、

23、2)(并讨论时的情形)（3）所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,是收敛的，因为这是级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数这个例子表明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)故收敛半径（3）例3把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解：把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出级数收敛,且其和为例6求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以5、小结与思考这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质

24、.思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?