复变函数(第四版)课件--章节1.3

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1、1、复数的乘积与商2、复数的乘幂3、复数的方根§3复数的乘幂与方根定理1：两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1、复数的乘积与商因此

2、z1z2

3、=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2几何意义：

4、将复数z1按逆时针方向旋转一个角度，Argz2，再将其伸缩到

5、z2

6、倍。oxy(z)z1z2z2要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.例1：设z1=-1,z2=i,则z1z2=-i解：定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明：Argz=Argz2-Argz1即：由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵

7、z

8、

9、z1

10、=

11、z2

12、及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）设z=reiθ，由复数乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinn

13、θ)=rneinθ。2、复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）。定义特别：当

14、z

15、=1时，即zn=cosnθ+isinnθ，则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ-----棣模佛(DeMoivre)公式。问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω。3、复数的方根当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上，

16、的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点。xyo例2：求