概率统计第二章课件.ppt

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1、第三章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其分布函数3.2边缘分布3.3条件分布与独立性3.4二维随机变量函数的分布一、二维随机变量的概念二、二维随机变量的分布函数三、二维离散型随机变量四、二维连续型随机变量五、小结第一节二维随机变量一、二维随机变量的概念前一章我们讨论了一维随机变量，并且知道所谓一维随机变量无非是随机试验的结果和一维实数之间的某个对应关系。但在许多实际问题中，对于一个试验结果，我们往往需要二个或二个以上的随机变量去描述。例如：考察某炉钢水的质量，需要同时考察含碳量X、含硫量Y等几个量。而

2、考察某市儿童体质情况，就需要同时考察儿童的身高X、体重Y、营养状况Z等几个量。这些量显然也是随机变量，并且它们之间从统计意义上又是关联的，需要同时加以研究。为此目的，引进多维随机变量的概念。定义1设X1，X2，…，Xn是定义在样本空间Ω上的随机变量，则称n维向量(X1，X2，…，Xn)为n维随机向量或n维随机变量。特别，当n=2时，即得到二维随机变量的定义。二维随机变量常记作(X，Y)。如同高等数学中大家所熟悉的那样，从一维到多维会增添许多新的问题。为了叙述和学习的方便，这里着重讨论二维随机变量，所得的结果不

3、难推广到n>2的情形。二维随机变量(X，Y)的取值是一个实向量(x，y)，它是平面上的一个点，因此，二维随机变量(X，Y)是平面上的随机点，它的取值的概率称为它的分布，它不仅与X、Y有关，还与X、Y之间的相关性有关。因此逐个的研究X或Y的分布是不够的，需要将它们作为一个整体来讨论。二、二维随机变量的分布函数1、分布函数的定义如果将(X，Y)看作平面上随机点的坐标，则F(x，y)=P{X≤x，Y≤y}就表示点(X，Y)落在图（1）中阴影部分的概率。图（1）这时，点(X，Y)落入任一矩形区域{x1＜X≤x2，y1

4、＜Y≤y2}的概率，可运用概率的加法性质求得(借助图(2))：yOx1x2y2y1x图（2）（1）2、分布函数的性质且有其中性质(1)、(2)、(3)的证明是显然的，而性质(4)由式(1)及概率的非负性即可得。反过来还可以证明，任意一个具有上述四个性质的二元函数，必定可以作为某个二维随机变量的联合分布函数。对于n维随机向量(X1，X2，…，Xn)可类似定义分布函数如下：若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.1、定义三、二维离散型随机变量2、二维离散型随

5、机变量的分布律(X,Y)的联合分布律也可写成表格形式：YXy1y2yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j………xipi1pi2…pij………例1（二维0-1分布）一口袋中放有红球4只，白球5只，从中取球两次，每次任取一只，X表示第1次取得的红球个数，Y表示第2次取得的红球个数，分别就（1）有放回抽取；（2）无放回抽取时，求(X，Y)的联合分布律。解显然，X和Y的可能取值都是0、1。（1）有放回抽取用表格表示如下：（2）无放回抽取用表格表示如下：解且由乘法公式得例2YX123411/4000

6、21/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16例3一口袋中装有4张卡片，它们依次标有数字1、2、2、3。从中任取一张卡片后，不放回袋中，再从袋中任取一张卡片。用X、Y分别表示第一、二次被取到的卡片标有的数字。试求(X，Y)的联合分布律。解显然，X和Y的可能取值都是1、2、3。于是同理可求得：汇总上述结果，用表格表示联合分布律如下：YX23121301/61/121/61/61/61/61/120例4一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个

7、,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律.(X,Y)的可能取值为解故(X,Y)的分布律为借助分布律，也可求分布函数。若二维随机变量(X，Y)的联合分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij(i，j=1，2，…)。则其联合分布函数其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i，j来求和。1、定义四、二维连续型随机变量2、性质表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.3、说明例5设二维随机变量(X，Y)具有概率密度(1)确定系数

8、k；(2)求分布函数F(x，y)；(3)求概率P{X≤Y}。解(1)由于(3){Y≤X}={(X，Y)G}，其中G为xoy平面上直线y=x下方部分，如图y=xOxyG若二维随机变量(X，Y)具有概率密度其中A是区域G的面积，则称随机变量(X，Y)服从G上的均匀分布。例6设二维随机变量(X，Y)在矩形区域：G={0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布。试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。Oxyx