高阶对称矩阵特征值的计算论文

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1、高阶对称矩阵特征值的计算毕业论文目录摘要IAbstractII目录1引言11关于矩阵特征值的概念11.1矩阵特征值和特征向量的定义11.2矩阵特征值的计算方法21.3对称矩阵特征值的一些性质32高阶对称矩阵特征值的计算方法42.1Jacobi旋转法42.1.1Jacobi旋转法的概念42.2幂法72.2.1幂法的概念72.2.2反幂法的概念92.3QR方法112.3.1豪斯霍尔德变换11172.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵122.3.3豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对角矩阵142.3.

2、4QR方法的算法及实例143结束语17参考文献181关于矩阵特征值的概念本论文在第一部分首先介绍矩阵特征值的定义，接着介绍本文讨论的关于对称矩阵在特征值问题上的不同于一般矩阵的性质。这样在下面介绍其他矩阵特征值计算方法之前，可以对特征值有一个大致的了解。1.1矩阵特征值和特征向量的定义定义1[3]设矩阵，若存在实数或者复数和非零向量，使（1）则称为的特征值，为对应的特征向量。1.2矩阵特征值的计算方法上面说明了矩阵特征值的定义，下面我们来看矩阵特征值的计算方法。由（1）式可知可使其次线性方程组有非零解，故

3、系数行列式，记17（2）称为矩阵的特征多项式，方程（2）称为矩阵的特征方程。因为次代数方程在有个根（存在于复数域中），故把（2）式的行列式进行展开可以得到故矩阵的个特征值是它的特征方程（2）的个根[4]。并有例1求的特征值解的特征方程为故的特征值为，。1.3对称矩阵特征值的一些性质17上面我们给出了矩阵特征值的定义及其计算方法，下面我们来看一看对称矩阵的一些独特的关于特征值的性质定理1设为对称矩阵，则（1）的特征值均为实数（2）有个线性无关的特征向量（3）存在一个正交矩阵使且是的特征值，而，它的列向量为和

4、的特征向量是对应的。定理2设为对称矩阵。其特征值按顺序写为，则（1）（对任何非零向量）（2），2高阶对称矩阵特征值的计算方法2.1Jacobi旋转法上文中提到的初等矩阵分解算法在遇到高阶矩阵的时候就显得不那么便于计算，而Jacobi旋转法很好的解决了这一问题。Jacobi通过他的著作《函数行列式》让矩阵计算进入新的纪元[5]Jacobi旋转法可以应用于本文所讨论的高阶对称矩阵特征值计算中。Jacobi算法主要的目的就是将对称矩阵A化为对角矩阵，然后进行矩阵的特征值的求解。而要实现这种变换就必须使用旋转变换

5、或者说是正交相似变换来达到目的[6]。另外，Jacobi17旋转法的计算步骤较多量，人为计算通常比较繁琐，这是因为其核心方法是迭代计算，所以一般使用计算机进行计算。但是它的优点是拥有较高的精确度，所以在计算矩阵特征值时，它也是一种常用方法。2.1.1Jacobi旋转法的概念令,依次构造矩阵序列，使，其中是在平面上转过角度的一个旋转。其中，，，，其他。如何确定上面所提到的平面和旋转角就是我们下面需要考虑的问题了，这里我们可以观察位于主对角线以上的全部元素，通过它来确定最大模的项（这里由于对称性的原因，使得我

6、们仅仅只要在A的上部的元素中来求就可以了）[7]。剩下的问题就是确定旋转角，使得，我们知道平面旋转R(p，q)有只会对一部分行和列产生影响的相似变换。即第p，q行和列。p，q，由以下原则确定：记，则有，，为了达成的条件，即消去位的元素，对于旋转角，必须满足下面的条件（1）；（2）选择角满足：；此外，若那么选择注意时，。通过上述的方法得到的旋转角让它对应的旋转矩阵中的，但是即使出现或17的情况，在通过一系列的旋转变换后它们一般不会等于0，所以我们说这种对对称矩阵的非对角元素的旋转变换的处理方法没有结束的时候

7、，这是因为使用了迭代的方法，所以我们在进行这一过程之前都要先有指定的精度，方便我们的计算。Jacobi方法的收敛性界定条件如下：矩阵中对角之外的元的平方和在每一次正交相似变换后减少。我们最后会算得一个矩阵序列。它是一个对角形矩阵。这个矩阵序列是确定的，我们观察这个对角矩阵，它和初始矩阵几乎没有不同的地方，同时，这也是稳定的一个过程。最终得到一个具有一定精度的对角矩阵，并有，其中各列就是矩阵A的特征向量。同时其对稀疏带状矩阵的平面旋转变换会将原矩阵的稀疏带状破坏。例2求矩阵特征值，要求使用Jacobi方法的

8、特征值和特征向量。解首先取由得所以不停的重复下去，当非对角元素趋近零的时候，九次变换之后，得到17处在对角线上的元素就是我们要的结果，那么特征值就是相应的特征向量为相对应的特征值的精确值相对应的特征向量为2.2幂法迭代算法中另外一个算法就是幂法。幂法有其不同于前一种算法的特殊用途，那就是算矩阵的主特征值，而主特征值就是矩阵按模最大的特征值[8]。该方法在大型稀疏矩阵中应用较多[9]。乘幂法也有一些缺点，譬如收敛速度慢，尤其是在