3、最大的元素作为旋转主元,根据(3.4)或(3.5)式选取使矩阵的(p,q)元素等于零,即.设此法已进行k-1步,得到相似矩阵.其主对角线上方绝对值最大的元素为,则第k步将选取作为旋转主元,取Givens平面旋转矩阵R(p,q)中的旋转角满足3.2Jacobi方法及其收敛性或并令(3.6)一般地,经过有限次上述变换不可能把A化为一个对角阵,这是因为在中的元素,但在中,可能变成非零元素.因此,Jacobi方法是一种迭代法.然而,我们将证明,当时,(3.7)其中是矩阵A的n个特征值．记(3.8)其中的主对角元全为零.据(3.6)和(3.3)
4、式,有从而有(3.9)由于是中绝对值最大的元素,因此即(3.10)据(3.9)和(3.10)式便有当时,.这就证明,当时,趋于一个对角阵．(一)旋转主元的选取在古典的Jacobi方法中,每一步变换之前都要寻查的主对角线上方绝对值最大的元素,以它作为旋转主元.在计算机上这样寻查一遍比较费时间.实际应用Jacobi方法时,常作一些修改,以节省寻查旋转主元的时间.首先,逐次选取(1,2),(1,3),…,(1,n),(2,3),…,(2,n),…,(n-l,n)元素为旋转主元,确定旋转角和Givens平面旋转矩阵依次消去上三角部分的(p,q
5、)元素.从(1,2)到(n-1,n)称为一轮.做完第一轮后,再按(1,2),(1,3),…,(n-1,n)的次序做第二轮,第三轮,….在每一轮消元时,都给定一个控制量,称为消元容限.如果(p,q)元素的绝对值小于,就跳过这一步.容限的值,逐轮减小,最后可取3.3实用的Jacobi方法及其计算步骤接近计算机所能表示的最小正数作为容限.但是,没有统一的方法来确定消元容限.常用的一种方法是在第一轮取容限第二轮取容限其中是做完第一轮消元后得到的的(i,j)元素，仿此继续选取第三轮消元容限.或者,更简单些,在第一轮取以后逐轮取平面旋转矩阵的旋转
6、角应满足关系：为了避免分母出现零的危险,我们把这个关系式改写成记(3.11)则(3.12)在很小时,就跳过这一步,因此实际上在(3.12)中不会发生分母为零的情形.为了计算和,可令(3.13)(二)平面旋转矩阵参数和的计算由于,所以t满足二次方程(3.14)解得(3.15)为取(3.15)中绝对值的较小者,则应取(3.16)如果,那么据(3.12)式计算b将会产生较大的误差.因此,取(3.17)此时,t近似地满足方程(3.14).最后,按下列公式计算和：据(3.3),(3.18)和(3.19)式,并注意到便可得到计算的元素的公式如下：
7、(3.20)在时，(3.21)(3.22)(3.23)(三)元素的计算设逐次所用的平面旋转矩阵为,则据(3.6)式有令(3.24)则(3.25)设可以看成是一个对角阵(非主对角元素都接近于零),则的主对角元素是矩阵A的特征值的近似.据(3.25)式可得从而的第j列向量就是矩阵A的特征值所对应的特征向量,并且得到的特征向量系是一个标准直交系.记(四)特征向量的计算(3.26)则据(3.24)式得到(3.27)记,则(3.28)其中c和s表示相应的平面旋转矩阵中的参数和.这样,若需计算特征向量,则只要保存而无需保存每一次的平面旋转矩阵．
