第一章矩阵代数-精品文档.ppt

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1、第一章矩阵代数§1.1定义§1.2矩阵的运算§1.3行列式§1.4矩阵的逆§1.5矩阵的秩§1.6特征值、特征向量和矩阵的迹§1.7正定矩阵和非负定矩阵§1.8特征值的极值问题§1.1定义p×q矩阵：p维列向量：q维行向量：a′=(a1,a2,⋯,aq)向量a的长度：单位向量：若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,⋯,app称为它的对角线元素，其他元素aij(i≠j)称为非对角线元素。若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,i>j。若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，

2、aij=0,i

3、A+B)′=A′+B′。(2)(AB)′=B′A′。(3)A(B1+B2)=AB1+AB2。(4)。(5)c(A+B)=cA+cB。若两个p维向量a和b满足a′b=a1b1+a2b2+⋯+apbp=0则称a和b正交。几何上，正交向量之间相互垂直。若方阵A满足AA′=I，则称A为正交矩阵。显然，，i=1,2,⋯,p，即A的p个行向量为单位向量；，即A的p个行向量相互正交。又从A′A=I得：(j≠k)，即A的p个列向量也是一组正交单位向量。若方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。对称的幂等矩阵称为投影矩阵。正交矩阵A的几何意义将p维向量x看作是在Rp中的一个点，则x的各分量是该点在相应各坐标轴

4、上的坐标。正交阵A的行列式非1即−1。若

5、A

6、=1，则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交旋转)，y的各分量正是该点在新坐标系下的坐标；若

7、A

8、=−1，则包含了一个反射的坐标轴。当p=2时，按逆时针方向将直角坐标系x1Ox2旋转一个角度θ，所得新坐标系y1Oy2与原坐标系之间的变换为当p=3时同样有着直观的几何展示。由于y′y=(Ax)′(Ax)=x′A′Ax=x′x故在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。矩阵的分块设A=(aij)：p×q,将它分成四块，表示成其中A11：k×l，A12：k×(q−l)，A21：(p−k)×l，A22：(p−k)×(q−l)。若

9、A和B有相同的分块，则若C为q×r矩阵，分成其中C11：l×m，C12：l×(r−m)，C21：(q−l)×m，C22：(q−l)×(r−m)，则有例1.2.2用矩阵分块方法证明正交矩阵A：p×p的p个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。证明将矩阵A分别按列向量和行向量分块，并记由A′A=I，得于是故有即a1,a2,⋯,ap为一组正交单位向量。同理，由AA′=I可证a(1),a(2),⋯,a(p)也是一组正交单位向量。§1.3行列式p阶方阵A=(aij)的行列式定义为这里表示对1,2,⋯,p的所有排列求和，τ(j1j2⋯jp)是排列j1,j2,⋯,jp中逆序的总数，称它为这个排列的逆序

10、数，一个逆序是指在一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数。例如，τ(3142)=1+τ(1342)=3+τ(1234)=3。行列式的一些基本性质(1)若A的某行(或列)为零，则

11、A

12、=0。(2)

13、A′

14、=

15、A

16、。(3)若将A的某一行(或列)乘以常数c，则所得矩阵的行列式为c

17、A

18、。(4)若A是一个p阶方阵，c为一常数，则

19、cA

20、=cp

21、A

22、。(5)若互换A的任意两行(或列)，则行列式符号改变。(6)若A的某两行(或列)相同，则行列式为零。(7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列)，则所得行列式不变。(8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合

23、，则行列式为零。(9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则(10)若A和B均为p阶方阵，则

24、AB

25、=

26、A

27、

28、B

29、。(11)

30、AA′

31、≥0。(12)若A与B都是方阵，则(13)若A：p×q，B：q×p，则

32、Ip+AB

33、=

34、Iq+BA

35、例1.3.3设x,y为两个p维向量，则

36、Ip+xy′

37、=1+y′x代数余子式设A为p阶方阵，将其元素aij所在的第i行与第j列划去之后所得(p−1)阶矩阵的行列式，称为元素aij的余子式