第一章矩阵代数

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1、第一章矩阵代数1.1分块矩阵1.2广义逆1.3拉直运算和Kronecker积1.4矩阵的微商1§1.1分块矩阵定义1.1.1若A=(a)为p×q阶矩阵，分成四块，使得ijA:k×l,A:k×()q−l,1112A:()p−k×l,A:()p−k×()q−l，2122⎛A11A12⎞则A=⎜⎟称为矩阵A的分块表示形式.⎜⎟AA⎝2122⎠2性质1若A和B有相同的分块，则⎛A11+B11A12+B12⎞A+B=⎜⎟⎜⎟A+BA+B⎝21212222⎠3性质2⎛C11C12⎞若C为q×r矩阵,它分为C=⎜⎟，其中⎜⎟CC⎝2122⎠C:l×m,C:l×(

2、r−m),C:(q−l)×m,111221C:(q−l)×(r−m),则22⎛A11A12⎞⎛C11C12⎞AC=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟AACC⎝2122⎠⎝2122⎠⎛A11C11+A12C21A11C12+A12C22⎞=⎜⎟⎜⎟AC+ACAC+AC⎝2111222121122222⎠4性质3若A为方阵，A也为方阵，11(1)若A≠0，则A=AA111122⋅1−1其中A=A−AAA22⋅122211112(2)若A≠0，则A=AA2211⋅222−1其中A=A−AAA11⋅2111222215证明:(1)A≠0，利用11I0−1⎛⎜⎞⎟⎛A11A1

3、2⎞⎛⎜I−A11A12⎞⎟⎜⎟⎜−1⎟⎜AA⎟⎜⎟⎝−A21A11I⎠⎝2122⎠⎝0I⎠⎛A110⎞=⎜⎟(1.1)⎜⎟0A⎝22⋅1⎠两边同时取行列式即可.6(2)A≠0，利用22−1I0⎛⎜I−A12A22⎞⎟⎛A11A12⎞⎛⎜⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎜AA⎟⎜−1⎟⎝0I⎠⎝2122⎠⎝−A22A21I⎠⎛A11⋅20⎞=⎜⎟(1.2)⎜⎟0A⎝22⎠两边同时取行列式即可.7性质4若A为可逆方阵，A和A均为方阵1122(1)若A≠0，则11−1−1−1−1−1−1⎛A+AAAAA−AAA⎞11111222⋅12111111222⋅1A−1=⎜⎟⎜−

4、1−1−1⎟−AAAA⎝22⋅1211122⋅1⎠(2)若A≠0，则22−1−1−1⎛A−AAA⎞11⋅211⋅21222A−1=⎜⎟⎜−1−1−1−1−1−1⎟−AAAA+AAAAA⎝222111⋅222222111⋅21222⎠8性质4（续）(3)若A≠0，A≠0，则1122−1−1−1⎛A−AAA⎞11⋅2111222⋅1−1⎜⎟A=⎜−1−1−1⎟−AAAA⎝222111⋅222⋅1⎠9证明:(1)对(1.1)式两边求逆−1−1−1−1−1⎛⎜I−A11A12⎞⎟⎛A11A12⎞⎛⎜I0⎞⎟⎛⎜A110⎞⎟⎜⎟=⎜⎟⎜AA⎟⎜−AA−1I⎟

5、⎜−1⎟⎝0I⎠⎝2122⎠⎝2111⎠⎝0A22⋅1⎠AA−1⎛−−1⎞⎛A−10⎞⎛I0⎞⎛1112⎞IA11A12⎜11⎟⇒⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜AA⎟⎜⎟⎜−1⎟⎜−AA−1I⎟⎝2122⎠⎝0I⎠⎝0A22⋅1⎠⎝2111⎠−1−1−1−1−1−1⎛A+AAAAA−AAA⎞⎜11111222⋅12111111222⋅1⎟=⎜−1−1−1⎟AAAA⎝22⋅1211122⋅1⎠10§1.2矩阵的广义逆一、减号逆定义1.2.1设A为n×p阶矩阵，若存在一个p×n阶矩阵X，使得AXA=A，则称X为A−的广义逆或A的减号逆，记作X=A.11性质1任何矩阵

6、的广义逆一定存在，但可能不唯一。12证明:设rank(A)=r，A可分解为n×p⎛Ir0⎞A=P⎜⎟Q⎜⎟⎝00⎠其中P和Q分别为n和p阶非奇异方阵，于是有AXA=A⇔⎛Ir0⎞⎛Ir0⎞⎛Ir0⎞P⎜⎟QXP⎜⎟Q=P⎜⎟Q⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝00⎠⎝00⎠⎝00⎠13⎛Ir0⎞⎛Ir0⎞⎛Ir0⎞⎜⎟QXP⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝00⎠⎝00⎠⎝00⎠记⎛T11T12⎞QXP=⎜⎟其中T:r×r11⎜⎟TT⎝2122⎠于是⎛Ir0⎞⎛T11T12⎞⎛Ir0⎞⎛Ir0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝00⎠⎝T21T22⎠⎝00⎠⎝00⎠⇔T=I1

7、1r14⎛IrT12⎞所以QXP=⎜⎟⎜⎟TT⎝2122⎠⎛IrT12⎞即X=Q−1⎜⎟P−1⎜⎟TT⎝2122⎠−其中T，T，T可任意选择，X就是A的广义逆A，122122−这表明A一定存在，但可能不唯一.15−−−1性质2若A非退化，则A唯一，且A=A.−1−1证明：因为AAA=A，所以A是A的一个广义逆.若X也是A的广义逆，则AXA=A−1⇔X=A,唯一性得证.16−性质3rk(A)≥rk(A)证明由性质1中知，若rank(A)=r，A可分解为n×p⎛Ir0⎞A=P⎜⎟Q⎜⎟⎝00⎠其中P和Q分别为n和p阶非奇异方阵，于是有⎛IrT12⎞A−

8、=Q−1⎜⎟P−1⎜⎟TT⎝2122⎠−所以rk(A)≥rk(A).17性质4−−rk(A)=rk(AA)=rk(AA)−