《矩阵代数基础》PPT课件

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1、第二章矩阵代数基础刘子忠12.1引言为何要学习矩阵代数知识？已学过：分子的对称操作如何构成点群及点群的分类和符号。下一目标：寻找和对称操作行为相似的矩阵集合，即和对称操作同态的矩阵。这些矩阵称为对称操作的表示，即以数学方法来表达分子对称性的含义，是群论应用于化学全部问题的中心。作法：建立矩阵表示与点群间的联系，应用矩阵表示的数学定理来解决不同的化学问题。在建立矩阵表示与点群间的联系之前，必须了解一点矩阵本身的性质。22.2矩阵定义定义矩阵是称作元素的数字（或符号）的矩形列阵。这些元素写在小括号或中括号之间。如：《群论与化学》只涉及方阵（行数等于列数

2、）、单行或单列矩阵。3通常用大写斜体字母代表矩阵，小写字母代表矩阵元素。如：A表示矩阵，aij表示矩阵A的第i行j列元素。方正的行数（或列数）称为矩阵的阶。矩阵有确定的运算规则。注意矩阵与行列式的区别：行列式：是一些元素的正方列阵，代表着这些元素确定的乘积的总和，有确定的数值。用列阵的两边加单根数线表示，如：4二阶行列式展开三阶行列式展开n阶行列式展开一个行列式等于任意给定的列（或行）的元素与它们相应的代数余子式乘积的总和。行列式的展开5例如行列式某元素的余子式：将该元素所在行和所在列划掉后得到的低一阶的行列式。如元素a22的余子式为：某元素的代数

3、余子式：将该元素的余子式乘以(-1)i+j,6例如将下列行列式按照第2行或按第二列展开如下7例如将下列行列式按第一行展开或者将下列行列式按第三列展开8一个方阵的行列式就是将该矩阵认作行列式即可，假如矩阵为A，我们就将其行列式记作det(A),即：则92.3矩阵代数（1）相等两矩阵A和B相等，当且仅当对于所有i和j均有Aij=Bij.例如若且A=B则10（2）加法与减法只有相同维数的矩阵才可以相加或相减。在此情况下，A与B之和可用矩阵C表示。A+B=C其中对所有i和j均有Cij=Aij+Bij.例如同理，A减B可用矩阵C表示A-B=C其中对所有i和j

4、均有Cij=Aij-Bij.例如11由此推论，用数c乘以矩阵A得到矩阵B，B=cA其矩阵元对所有i和j都由Bij=cAij给出.例如12（3）乘法A和B两矩阵，当且仅当A的列数，假定为n，等于B的行数时，才可以相乘（称为矩阵乘法），其乘积定义为矩阵CC=AB其矩阵元对于所有i和j都按方程得到。如果矩阵A有m行n列（mxn矩阵），而矩阵B有n行p列（nxp矩阵），则矩阵C必为m行p列（mxp矩阵）。例如13例1例2例314记忆法：取第一个矩阵的各行按向量乘法依次乘以第二个矩阵的各列，第i行和第j列相乘得乘积中的i、j元素。两个以上矩阵的相乘，只要多次

5、运用乘法规则，一次将一对矩阵相乘A(BC)=(AB)C15对于三个矩阵的乘积，D=ABC乘积的一般元素，对所有i和j都可通过给出，式中r是A的列数，必须和B的行数相同，而s是B的列数，必须和C的行数相同。注意：相乘的矩阵其行数和列数的限制。一般来说：AB≠BA16矩阵的应用可以用简单的形式表示线性方程组。例如：可以写成：AX=Yy1=A11x1+A12x2+A13x3y2=A21x1+A22x2+A23x3y3=A31x1+A32x2+A33x317此外，若与该方程相关联的还有方程组：则Z=BY式中因此(BA)X=Z表示意义：若矩阵B定义y变换成z

6、，而矩阵A定义x变换成y，那么，由x到z的变换就由矩阵BA确定。z1=B11y1+B12y2+B13y3z2=B21y1+B22y2+B23y3z3=B31y1+B32y2+B33y318（4）“除法”矩阵“除法”如同算符一样，“除法”只能经过一个逆过程来完成。凡是矩阵A具有非零行列式，即Det(A)≠0则称矩阵A为非奇异矩阵。对于且仅仅对于非奇异矩阵，才能按照下面等式来定义其逆矩阵方法求其逆矩阵A-1AA-1=A-1A=E式中E是恒等矩阵和除法等价的矩阵运算是一个逆矩阵相乘，例如，当AB=CABB-1=CB-1AE=CB-1A=CB-1注意：由于

7、矩阵不一定对易，在等式两边同乘另一矩阵时，要左乘，均左乘，要右乘，均右乘。19确定逆矩阵的方法（Gramer法则）考虑n个方程y1=A11x1+A12x2+…+A1nxny2=A21x1+A22x2+…+A2nxn…………………………….（2.1）yn=An1x1+An2x2+…+Annxn用矩阵记号写为：20记为Y=AX，用A-1左乘两边，得到X=A-1Y若令21（2.2）X=A-1Y22A的行列式可写成（式中Mij为的Aij代数余子式）23如果用M11乘方程2.1的第一式，用M21乘方程2.1的第二式，…，用Mn1乘方程2.1的第n式，然后相加

8、，得M11y1+M21y2+…+Mn1yn=(A11M11+A21M21+…+An1Mn1)x1+(A12M11+A22M