线性代数 第一章、矩阵.ppt

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1、矩阵是线性代数的一个最基本的概念，是线性代数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题都可以用矩阵表示并且可以运用有关理论得到解决。例如：学生各科考试成绩，企业销售产品的数量和单价，超市物品配送路径等。本章就是讨论最简单的由数形成的矩形数表—矩阵及其运算。1.1矩阵的概念1.2矩阵的运算1.3可逆矩阵1.4矩阵的初等变换和初等方阵第一章矩阵1§1矩阵的概念背景：数的发展：自然数整数有理数实数复数对于这些数一般用集合的观点讨论,通常只是研究它们的一些运算法则和运算规律。例如加、减、乘、除等。2下面引入一个一般的概念如求方程的根，此方程不仅在有理数范围内

2、无解，就是在实数范围内也无解，只在复数范围内有解。为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集统一处理在研究某些问题时，常常和所研究对象的取值范围有关。3设F是复数集C的一个子集合，如果F满足下列两个条件：（1）0和1都在F中（2）F中任意两个数(可以相等)的和、差、积、商（除数不为零）仍然在该集合中则称集合构成一个数域定义1.1例如:有理数集、实数集、复数集都构成数域。　　　　　　　　但整数集不构成数域。4定义1.2如果一个数集中任意两个数经过某一种运算后所得结果仍在该数集中,则称数集对该运算封闭.例如:整数集对加法运算封闭，但对除法运算不封闭。因此

3、,要证明一个数集是否构成数域只要能证明该数集中含有数0和1,并且对加、减、乘、除四种运算都封闭即可。5注意:（1）本书中涉及到的数都是指某个数域中的数例1设则是一个数域。F（2）若没有特别说明涉及到的数域一般是指实数域6引例:例1设某种物资，如煤炭等，有个产地，，个销地，，如果以aij表示由第i个产地销往第j个销地的数量，矩阵表示由第个产地销往第个销地的数量则这类物资的调运方案，可用一个数表表示如下：7由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)按一定次序排成m行n列的矩形数表称为一个m行n列的矩阵，简记为(aij)m×n一般用大写字母

4、A，B，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第i行、第j列的元素。定义1.38(1)如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)矩阵。一般的，仅讨论实矩阵。(2)如果矩阵的行数等于列数，则称矩阵为阶矩阵或阶方阵，记做实际上，一阶矩阵就是一个数。(3)若两个矩阵行数和列数分别相等，则称这两个矩阵是同型矩阵，否则称为非同型矩阵。(4)若两个矩阵不但是同型矩阵，而且对应的元素也相等，则称这两个矩阵相等。注意：9矩阵应用举例：例1：把下图中四个城市之间的航线用矩阵表示出来城市2城市3城市4城市1

5、解:设则得到邻接矩阵10例2：把下列成绩统计表用矩阵表示出来姓名高数英语邓论普物张一98908772李二89908698王三97847587刘六85888588解：用矩阵表示为11列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵：元素都是零的矩阵记作O。几种比较特殊的矩阵：有多少个？它们都相等吗？行矩阵：只有一行的矩阵12上三角矩阵：形如的方阵下三角矩阵：形如的方阵上、下三角矩阵统称为三角矩阵13对角矩阵：方阵并且除主对角线上的元素外其余元素全为零通常用表示即=例如:是一个三阶对角矩阵14数量矩阵：对角矩阵中当时例如：就是一个数量矩阵也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例

6、15特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都是1，其他元素都是0。即单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，称为单位矩阵，用字母或表示16如果变量y1,y2,...,ym可由变量x1,x2,...,xn线性表示,称为由变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,ym的变换为线性变换。线性变换由个元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。线性变换：定义1.4即17称为线性变换的系数矩阵。其中,由系数构成的矩阵可以看出给定一个矩阵必定对应于一个线性变换如：单位矩阵对应的线性变换为称为恒等变换18再如:线性变换对应n阶系

7、数矩阵为是一个对角矩阵。也就是说，线性变换和系数矩阵是一一对应的。19§2矩阵的运算一.矩阵的加法定义2.1设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为C=A+B,规定为背景:矩阵之所以有用,不在于把一组数能排成矩形数表,而在于能进行有实际意义的运算。20加法满足运算规律:(1)A+B=B+A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律)特别的:A是A的负矩阵注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算，其运算法则就是把它们的对应元素相加。21类似的，也可以定义矩阵的减法。例１：计算下列两个矩阵的和与差解：22二

8、.数与矩阵相乘（简称为数乘）定义2.2数与矩阵A的乘积记作A,规定为数与矩阵相乘满足运算规