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1、高考不等式专题精练(教师专用)高考不等式经典例题【例1】已知a>0,a≠1,P=loga(a3-a+1),Q=loga(a2-a+1),试比较P与Q的大小.【解析】因为a3-a+1-(a2-a+1)=a2(a-1),当a>1时,a3-a+1>a2-a+1,P>Q;当0<a<1时,a3-a+1<a2-a+1,P>Q;综上所述,a>0,a≠1时,P>Q.【变式训练1】已知m=a+1-21,则m,n之间的大小关系为()a-2(a>2),n=x(x≥2)A.m<nB.m>nC.m≥nD.m≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒
2、介传递.m=a+11-21-2=a-2++2≥2+2=4,而n=x≤()=4.a-2a-22【变式训练2】已知函数f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.【解析】由已知-4≤f(1)=a-c≤-1,-1≤f(2)=4a-c≤5.令f(3)=9a-c=γ(a-c)+μ(4a-c),49,5,3所以18358故f(3)=-3(a-c)+3(4a-c)∈[-1,20].题型三开放性问题【例3】已知三个不等式:①ab>0;②c>d;③bc>ad.以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组ab成多少个正确
3、命题?【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c>d?bc-ad>0.ababbc-ad>0,即①③?②;(1)由ab>0,bc>ad?abbc-ad(2)由ab>0,>0?bc-ad>0?bc>ad,即①②?③;abbc-ad(3)由bc-ad>0,ab>0?ab>0,即②③?①.故可组成3个正确命题.【例2】解关于x的不等式mx2+(m-2)x-2>0(m∈R).【解析】当m=0时,原不等式可化为-2x-2>0,即x<-1;当m≠0时,可分为两种情况:高考不等式专题精练(教师专用)(1)m>0时,方程mx2+(m-2)x-2=0
4、有两个根,x1=-1,x2=2.m2所以不等式的解集为{x
5、x<-1或x>m};(2)m<0时,原不等式可化为-mx2+(2-m)x+2<0,22m+2其对应方程两根为x1=-1,x2=m,x2-x1=m-(-1)=m.①m<-2时,m+2<0,m<0,所以x2-x1>0,x2>x1,不等式的解集为{x
6、-1<x<2};m②m=-2时,x2=x1=-1,原不等式可化为(x+1)2<0,解集为?;③-2<m<0时,x2-x1<0,即x2<x1,不等式解集为{x
7、2<x<-1}.m【变式训练2】解关于x的不等式ax-1>0.x+1【解析】原不等式
8、等价于(ax-1)(x+1)>0.当a=0时,不等式的解集为{x
9、x<-1};当1a>0时,不等式的解集为{x
10、x>a或x<-1};1当-1<a<0时,不等式的解集为{x
11、a<x<-1};当a=-1时,不等式的解集为?;1当a<-1时,不等式的解集为{x
12、-1<x<a}.【例3】已知ax2+bx+c>0的解集为{x
13、1<x<3},求不等式cx2+bx+a<0的解集.【解析】由于ax2+bx+c>0的解集为{x
14、1<x<3},因此a<0,1解得x<或x>1.3(1)z=x+2y-4的最大值;(2)z=x2+y2-10y+25的最小值;(3)
15、z=2y+1的取值范围.x+1【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).(1)易知直线x+2y-4=z过点C时,z最大.所以x=7,y=9时,z取最大值21.(2)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过点M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是(
16、0-5+2
17、)2=9.221y-(-2)1(3)z=2·x-(-1)表示可行域内任一点(x,y)与定点Q(-1,-2)连线斜率的2倍.7337因为kQA=,kQB=,所以z的取值范围为[,].
18、4842【例1】(1)设x,y∈R+,且xy-(x+y)=1,则()高考不等式专题精练(教师专用)A.x+y≥2(2+1)B.x+y≤2(2+1)C.x+y≤2(2+1)2D.x+y≥(2+1)2(2)已知a,b∈R+,则ab,a+b,a2+b2,2ab的大小顺序是.22a+bx+y2x+y2+(x+y).【解析】(1)选A.由已知得xy=1+(x+y),又xy≤(),所以(2)≥12解得x+y≥2(2+1)或x+y≤2(1-2).因为x+y>0,所以x+y≥2(2+1).a+bab,即a+b≥2ab,所以ab≥2ab.(2)由≥ab有a+b
19、≥22aba+ba+ba2+2ab+b22(a2+b2)a2+b2a+ba2+b2a+b2ab又2≤42≥≥≥ab≥=4,所以2,所以22a+b.【变式训练1】设a