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1、.一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式221.（1）若a,bR，则a2b22ab(2)若a,bR，则abab（当且仅当ab时取“=”）22.(1)若a,b*，则abab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“”）R2=a2*，则abb(当且仅当ab时取“=”）(3)若a,bR23
2、.若x0，则x12(当且仅当x1时取“”）;x=1若x0，则x2(当且仅当x1时取“”）x=若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba224.若a,bR，则(a2ab（当且仅当ab时取“=”）b)22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．a2+b22aba+ba+b≤ab≤2≤2应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y
3、＝3x2＋12（）＝x＋12x2yx解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x5，求函数y4x1的最大值。424x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。技巧三：分离例3.求yx27x10(x1)的值域。x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。y(t1)27(t）=t25t4t451+10ttt当,即t=时,y2t49（当t=2即＝时取“＝”号）。5x1t..技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x
4、a的单x调性。例：求函数yx25的值域。x24解：令x24t(t2)，则yx25x241t1x2x2(t2)44t因t0,t11，但t1解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为yt1在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y5。t2所以，所求函数的值域为5,。22．已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；3．0x2，求函数yx(23x)的最大值.3条件求最值1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a3b≥23a3
5、b23ab6当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．变式：若log4xlog4y112，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知x0,y0，且191，求xy的最小值。xy应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：1111118abc分析：不等式右边数字
6、8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111abc2bc，可由此变形入手。aaaa解：Qa、b、cR，abc1。111abc2bc。同理112ac，112ab。aaaabbcc..上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1111112bcg2acg2ab8。当且仅当abc1时取等号。abcabc3应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy解：令xyk,x0,y0,191，xy9x9y1.10y9x1xykxkykkxky11023。k16，m,16kk应用四：均值定理在比较大
7、小中的应用：例：若ab1,Plgalgb,Q1(lgalgb),Rlg(ab)，则P,Q,R的大小关系是.21（lga2分析：∵ab1∴lga0,lgb0Qlgb)lgalgbpRlg(ab)1lgab2lgabQ∴R>Q22四．不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集
8、。如（1）解不等式(x1)(x2)20
