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《高中不等式所有知识及典型例题(超全)(二).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一.不等式的性质：二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三.重要不等式221.（1）若a,bR,则a.2b22ab（2）若a,bR,则aba一b-（当且仅当ab时取“二”）22.（1）若a,bR*,则a_b题（2）若a,bR*,则ab2而（当且仅当ab时取“二”）22⑶若a,bR*,则aba—b(当且仅当ab时取"二”)2,,-1...3
2、.若x0,则x-2(当且仅当x1时取“=”);x一，1,一..一“若x0,则x—2(当且仅当x1时取“二”)b时取“=”)x若x0,则x12即x12或x1-2(当且仅当axxx若ab0,则abba2（当且仅当ab时取"二”）1010若ab0,贝Uab2即abbaba4.若a,bR,则(a__b)225.a3+b3+c3>3abc(a,b,cR+)a+b+c3>3/abc（当且仅当a=b=c时取等号）；2或2--2（当且仅当ab时取"二”）ba101上一一一一一，，.一6.n(a1+a2++an)》ga1a2Lan(aR,i=1,2，…，n),当且仅当a1=a2=・=an取等
3、方;变式：a2+b2+c2>ab+bc+ca;ab<(a+b)2(a,bR+);abc<(a+b+c)a―b-（当且仅当ab时取"二”）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.(a,b,cR+)23a+b2a2+b22b>n>0,m>0;aa+m应用一：求最值11例1:求
4、下列函数的值域(1)y=3x2+21(2)y=x+x解题技巧:105技巧一：凑项例1：已知x—,求函数y4x24，的最大值。4x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数,技巧二：凑系数例1.当口时，求yx(82x)的最大值。2技巧三：分离例3.求y-一少二°(xx1使其积为定值。1)的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。(t1)27(t1)+10t25t44=t—5当X>-1,即t=X41>口时,t=2即x=1时取“=”号)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数a一f(x)
5、x—的单x调性。例：求函数y-2-JL的值域。x24解：令,X24t(tx25x24x2411-'t1(t2)x24t1不在区间2,,故等号不成立，考虑单调性。一一1..因为yt-在区间t1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为52,2.已知0x1,求函数条件求最值yjx(1x)的最大值.；3.2,求函数yJx(23x)的最大值.31.若实数满足ab2,则3a3b的最小值是分析:和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,1010解:当3a变式：若iog4xlog4y2,求’-的最小值.并求x,y的值xy3
6、a和3b都是正数，3a3b和2d3a3b2G3ab63b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6.技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。一一192:已知x0,y0,且一一1,求xy的取小值。xy10技巧七、已知x,y为正实数，且x2+5=1,求x产干的最大值.-a2+b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故米用公式ab<一一同时还应化简W+y2中y2前面的系数为1f21+y22,xV1+y=x/2.~~2~卜面将x,2+y2-分别看成两个因式:2+y2)22x2+3+2:23二41y232
7、+74技巧八：已知分析：这是a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数个二元函数的最值问题，通常有两个途径，1,,，一y=v的取小值.ab一是通过消元，转化为一元函数问题10二是直接用基本不等式，对本再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。注30-2b法一：a二T，30-2bab=...,b=b+1-2b2+30b,/日由a>°得，0Vb<15令t=b+1,1
