高中不等式所有知识及典型例题超全

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1、一.不等式的性质:二.不等式大小比较的常用方法:1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化;6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法;8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。三.重要不等式1.(1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)2.(1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)(3)若,则(当且仅当时取“=”)3.若,则(当且仅当时取“=”);若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“

2、=”)若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)4.若,则(当且仅当时取“=”)注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.5.a3+b3+c3≥3abc(a,b,cÎR+),≥(当且仅当a=b=c时取等号);6.(a1+a2+……+an)≥(aiÎR+,i=1,2,…,n),当且仅

3、当a1=a2=…=an取等号;变式:a2+b2+c2≥ab+bc+ca;ab≤()2(a,bÎR+);abc≤()3(a,b,cÎR+)a≤≤≤≤≤b.(0b>n>0,m>0;10应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y=3x2+(2)y=x+解题技巧:技巧一:凑项例1:已知,求函数的最大值。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:凑系数例1.当时,求的最大值。技巧三:分离例3.求的值域。技巧四:换元解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x+

4、1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。2.已知,求函数的最大值.;3.,求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足,则的最小值是.分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解:都是正数,≥当时等号成立,由及得即当时,的最小值是

5、6.10变式:若,求的最小值.并求x,y的值技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。2:已知,且,求的最小值。技巧七、已知x,y为正实数,且x2+=1,求x的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为,x=x=x·下面将x,分别看成两个因式:x·≤==即x=·x≤技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或

6、基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。法一:a=,ab=·b=由a>0得,0<b<15   令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8   ∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。法二:由已知得:30-ab=a+2b∵a+2b≥2 ∴30-ab≥2   令u= 则u2+2u-30≤0,-5≤u≤3   ∴≤3,ab≤18,

7、∴y≥点评:①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.10变式:1.已知a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=+的最值.解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,≤,本题很简单 +≤==2解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的

8、形式,再向“和为定值”条件靠拢。W>0,W2=3x+2y+2·=10+2·≤10+()2·()2=10+(3x+2y)=20  ∴W≤=2应用二:利用基本不等式证明不等式1.已知为两两不相等的实数,求证:1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc例6:已知a、b

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