资源描述：
《高中不等式所有知识及典型例题(超全).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式221.（1）若a,bR，则a2b22ab(2)若a,bR，则abab（当且仅当ab时取“=”）22.(1)若a,b*，则abab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“”）R2=a2*，则abb(当且仅当ab时取“=”）(3)若
2、a,bR23.若x0，则x12(当且仅当x1时取“”）;x=1若x0，则x2(当且仅当x1时取“”）x=若x111-2(当且仅当ab时取“=”）0，则x2即x2或xxxx若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba若ab0，则ab2即ab2或ab-2(当且仅当ab时取“”）bababa=224.若a,bR，则(ab2ab（当且仅当ab时取“=”）)22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理
3、在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a3+b3+c3≥3abc（a,b,cR+）,a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）；31na1a2Lan(a+6.n(a+a+⋯⋯+a)≥R,i=1,2,⋯，n)，当且仅当a=a=⋯=a取等号；12ni12n222≥ab+bc+ca;ab≤(a+b2+≤a+b+c3+变式：a+b+c)(a,b)(a,b,cR)2R);abc(32aba+ba2+b2a≤a+b≤ab≤2≤2≤b.(0b>
4、n>0,m>0;应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12（）＝＋12x2yxx解题技巧：1技巧一：凑项例1：已知x5，求函数y4x21的最大值。44x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。技巧三：分离例3.求yx27x10(x1)的值域。x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。(t1)27(t）25t441+10ttyt=t5t当,即t=时,y2t459（当t=2即＝时取“＝”号）。tx1a的单技
5、巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xx调性。例：求函数yx25的值域。x24解：令x24t(t2)，则yx25x241t1(t2)x2x2t44因t0,t11，但t1解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为yt1在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y5。t2所以，所求函数的值域为5,。22．已知0，求函数yx(1x)的最大值.；3．0x2，求函数yx(23x)的最大值.x13条件求最值1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且
6、3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab6当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．变式：若log4xlog4y112，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知x0,y0，且191，求xy的最小值。xy2技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y2＝，求x＋y2的最大值.211a2＋b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤2。同时还应化简1＋y22前面的
7、系数为1，x1＋y2＝x·1＋y2＝·1＋y2中y2222x22下面将x，1y22＋2分别看成两个因式：1y221y222y211y2x·x＋(2＋2)x＋2＋23即x1＋y2＝2·x32＋2≤2＝2＝42＋2≤42技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后
8、，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝30－2b，＝－－2b2＋30b得，＜＜302b·＝由＞015b＋1abb＋1bb＋1a0b令t＝
