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1、资料不等式的性质：二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三.重要不等式221.（1）若a,bR,则a2b22ab（2）若a,bR,则ab-一b-（当且仅当ab时取="）22.（1）若a,bR*,则a_b施（2）若a,bR*,则ab24茄（当且仅当ab时取="）22（3）若a,bR*,则aba—b（当且仅
2、当ab时取="）23.若x0,则x-2（当且仅当x1时取="）;x,,一1若x0,则x—2（当且仅当x1时取=）x0,则x—2即x12或x1-2xxx（当且仅当ab时取="）若ab0,则ab2ba（当且仅当ab时取="）若ab0,则a-2即ab2或勺--2bababa（当且仅当ab时取="）4.若a,bR,则(旦2.2a―b-（当且仅当ab时取="）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”⑶均值定理
3、在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.5.a3+b3+c3>3abc(a,b,cR+)a+b+c3：一——方nabc（当且仅当a=b=c时取等号）；1_+6.n(a〔+a2++an)》VaazLan(aR,i=1,2，…，n),当且仅当a1=a2=••匚an取等方;资料变式：a2+b2+c2>ab+bc+ca;ab<(a+b2a+b+c32-)(a,bR);abc<(-3-)(a,b,cR)2ab一a<一;
4、：力b>n>0,m>0;a+m应用一：求最值例1:求下列函数的值域(1)y=3x2+宣(2)1y=x+—xx资料资料4x2，的最大值。4x549(当t=2即x=1时取当X>-1,即t=K+11口时,技巧五：注意：在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xax的单解题技巧:一一，一一5,一一技巧一：凑项例1：已知x^5,求函数y评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当Dce4
5、时，求yx(82x)的最大值。2技巧三：分离例3.求y-—7x_」°(x1)的值
6、域。x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+1,化简原式在分离求最值。(t1)27(t1)+10t25t4=t资料、…x25调性。例：求函数yx5的值域。x24解：令.x2t(tx25x24*21x241t-(t2)因为yt1,1解得tt1不在区间2,,故等号不成立，考虑单调性。1,、-在区间t1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y资料资料所以，所求函数的值域为资料2.已知0x1,求函数yJx(1x)的最大值.；3.0x-,求函数y"x(23x)的最大值.3条件求最值1.若实数满足ab2,则3
7、a3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而处3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a3b>2v3a3b24尹6当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6..11一变式：若log4xlog4y2,求一一的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。一一192:已知x0,y0,且一一1,求xy的取小值xy2技巧七、已知x,y为正实数，且x2+y"=1,求x]1+y2的最大值.-।上人,।乙乙
8、——一a+b分析：因条件和结论分别是二次和一次，故米用公式ab<——同时还应化简“1+y2中y2前面的系数为2,下面将x,、/2+券分别看成两个因式：2/1y2、22y21/TVx+(V2+2)x+5+272+5&2=2,2技巧八：已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,xV1+y2=x、/21^=V2=4即xV1T72=/dyr41-求函数y=ob的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已
9、知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩资料后，再通过解不等式的途径进行。30—2ba=b+1ab=30-2bb+1-2b2+30bbT1由a>0得，0<
