高等数学--2.2-函数的极限.ppt

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1、邻域的概念设a与δ是两个实数，且δ>0.数集称为点a的δ邻域点a叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径点a的空心δ邻域定义为它不包含点a点a的δ右邻域点a的δ左邻域概念复习1第二节函数的极限xy观察函数当

2、x

3、无限增大时函数的变化趋势2用表示x→∞过程。问题:函数y=f(x)在x→∞过程中,对应函数值无限趋近于确定值A。通过对图形的观察可以看出:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”。当

4、x

5、无限增大时,无限趋近于0。3定义2.3：设有函数f(x)和常数A，如果对于任意给定的正数ε>0，存在正数X，使得当

6、x

7、

8、>X时，总有不等式｜f(x)－A｜<ε成立，则称常数A为当x→∞函数f(x)的极限。记为：4例1:证明证：对于任意给定的正数ε>0，要使成立，必有5例2:用定义证明证:对于任给的，要使，只要，即时，就有所以，可取由于6几何解释:7另两种情形:例3:f(x)=2-xx例4:f(x)=2xyxf(x)=2-xyf(x)=2x89例3:10例4:11例5:f(x)=arctanx,讨论极限解:yxf(x)=arctanxπ/2－π/212例6:yx21随着x越来越接近1，f(x)越来越接近2，而且是无限趋近于2。

9、因此也有一种极限变化趋势。13问题:函数y=f(x)在x→x0过程中,对应函数值无限趋近于确定值A。用表示x→x0过程。点x0的空心邻域,体现x与x0的接近程度。14定义：设有函数f(x)和常数A，如果对于任意给定ε>0，存在δ>0，使得当0<

10、x-x0

11、<δ时，总有不等式｜f(x)－A｜<ε成立，则称常数A为当x→x0时函数f(x)的极限。记为：15几何解释:注意：16证：函数在点x=1处没有定义.例6:17证：例7:18证：例8:19例9:不存在。但x<0并→0时，f(x)无限趋近于1。当x>0并→0时，

12、f(x)无限趋近于-1。-1-1x20左极限:右极限:注意：21例10:证:22例11:证:01x-1y23作业:P505（1、3），7（2、6），24