高等数学-函数与极限.ppt

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1、微积分（高等数学）——中国药科大学龙益如NCETN01初等数学预备知识SO02极限与连续03导数与微分04导数的应用目05不定积分录06定积分07多元函数微分学08微分方程数从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举两个例子：牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物学的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结之为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自

2、然哲学的基本原理。”数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培美根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。2021-9-8函数与极限3函小函数结反数基函与函的本数练数特概习性念43212021-9-8函数与极限4一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.aM,aM,A{a,a,,a}有限集12nM{xx所具有的特征}无限集若xA,则必xB,就说A是B的子集.记作AB

3、.2021-9-8函数与极限5数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:NZ,ZQ,QR.若AB,且BA,就称集合A与B相等.(AB)例如A{1,2},2C{xx3x20},则AC.不含任何元素的集合称为空集.(记作)2例如,{xxR,x10}规定空集为任何集合的子集.2021-9-8函数与极限62.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.a,bR,且ab.{xaxb}称为开区间,记作(a,b)oabx{xaxb}称为闭区间,记作[a,b]o

4、abx2021-9-8函数与极限7{xaxb}称为半开区间,记作[a,b)有限区间{xaxb}称为半开区间,记作(a,b][a,){xax}(,b){xxb}无限区间oaxobx区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2021-9-8函数与极限83.邻域:设a与是两个实数,且0.数集{xxa}称为点a的邻域,点a叫做这邻域的中心,叫做这邻域的半径.U(a){xaxa}.aaax0点a的去心的邻域,记作U(a).U(a){x0xa}.2021-9-8函数与极限94.

5、常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量.注意常量与变量是相对“过程”而言的.常量与变量的表示方法：通常用字母a,b,c等表示常量,用字母x,y,t等表示变量.2021-9-8函数与极限105.绝对值:aa0a(a0)aa0运算性质:abab;aa;ababab.bb绝对值不等式:xa(a0)axa;xa(a0)xa或xa;2021-9-8函数与极限11二、函数概念定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，如果对于每个数xD,yf(x)数集D叫做这个函数的定义域因变量自变量当xD

6、时,称f(x)为函数在点x处的函数值.000函数值全体组成的数集W{yyf(x),xD}称为函数的值域.2021-9-8函数与极限12函数的两要素:定义域与对应法则.xDx(0)自变量对应法则f()f(x)Wy0因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.2例如，y1xD:[1,1]1例如，yD:(1,1)21x2021-9-8函数与极限13如果自变量在定y义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函W数叫做单值函数，否y(x,y)则叫与多值函数．oxx222例如，xya．D定义:点集C{(x,y)yf(x),x

7、D}称为函数yf(x)的图形.2021-9-8函数与极限14几个特殊的函数举例(1)符号函数y11当x0oxysgnx0当x0-11当x0xsgnxx2021-9-8函数与极限15123(2)取整函数y=[x]4y[x]表示不超过x的最大整数ox-4-3-2-1-112345-2-3-4阶梯曲线2021-9-8函数与极限16(3)狄利克雷函数1当x是有理数时yD(x)0当x是无理数时y1•ox无理数点有理数点2021-9-8函数与极限17(4)取最值函数ymax{f(x),g(x)}ymin{f(x),g(x)}yyf