高等数学 函数的极限.ppt

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1、第一章二、自变量趋于有限值时函数的极限第四节一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限自变量变化过程的六种形式:定义1.设函数充分大时有定义,在则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线.A为函数一、自变量趋于无穷大时函数的极限的过程中，对应的函数值无限接近于一个数值A，两种特殊情况:设函数充分大时在则称常数时的极限,记作A为函数的过程中，对应的函数值无限接近于一个确定的数值A，当充分大时）（有定义,或如果函数当x在上述变化过程中没有极限，的不能无限接近于数值A，即对应就说函数在该变化过程中极限不存在。当直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.几何意义:例如

2、，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，一般地,若则直线y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.例如，不存在.根据定义，二、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,则称常数A为函数当时的极限,或记作对应的函数值无限接近于某一确定数值A，且当x无限接近时，即时，极限存在函数局部有界(P22定理1)这表明:几何解释:2.左极限与右极限设函数在点的某去心右邻域内有定义,则称常数A为函数当时的右极限,记作对应的函数值无限接近于某一数值A，时，即时（左）时),(（小于）且当x大于而无限接近（左）或左极限与右极限统称为单侧极限.定理1.(充要条件)例

3、1.给定函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理1.因为显然所以不存在.存在那么这极限唯一.二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果极限定理2(函数极限的局部有界性)若则函数f(x)在的某一去心邻域(

4、x

5、充分大)有界.有当时,有即定理3.(函数极限的局部保号性)若且A>0,则存在(A<0)推论.若在的某去心邻域内且则定理3´若且A>0,则当

6、x

7、充分大时，(A<0)就有推论.,且则如果当

8、x

9、充分大时，定理4.（海涅定理：函数极限与数列极限的关系）有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使例2.证明不存在.证:取两个趋于

10、0的数列及有由定理1知不存在.内容小结1.函数极限的六种定义2.函数极限的性质:局部保号性与左右极限等价定理作业P243Th1Th3Th2第四节唯一性定理局部有界性定义1.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线.A为函数一、自变量趋于无穷大时函数的极限两种特殊情况:当时,有当时,有例1.证明证:取因此注:就有故欲使只要二、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或若记作即当时,有函数极限的演示dd目的：对任意的e>0,要找d>0，使得0<

11、x-x0

12、<

13、d时，有

14、f(x)-A

15、