线性微分方程组.ppt

《线性微分方程组.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第9章線性微分方程組9-1一階線性微分方程組的理論若有n個未知函數滿足對t微分設且微分一矩陣即微分其每一元素，所以於是原微分方程組可表示為或簡寫成(2.1)若對所有t值，G(t)=O，則此方程組為齊次，且可表為(2.2)而O代表n1階零矩陣，即先討論齊次方程組的以下重要性質：[證明]再介紹線性相依與線性獨立：線性相依(lineardependence)線性獨立(linearindependence)基本矩陣(fundamentalmatrix)利用此基本矩陣，則方程組的一般解可表示為(2.3)上式中為任意常數所組成的n1矩陣9-2當A為常數矩陣時，的解嘗試令X=heλ

2、t，其中h為一待決定的n1階常數矩陣，λ為一待決定的特定數。將此建議解代入原方程式中，可得因為eλt一定不等於零，所以λ必為A的特徵值h為λ所對應的特徵向量因此，如果能找到n個線性獨立的特徵向量，以形成n個線性獨立解，即可求得所要的解。[例題1]求以下微分方程組的通解[解]因此基本矩陣為故通解為或以分量表示為[習題1]求以下微分方程組的通解[習題2]求以下微分方程組的通解9-2-1當A有複數特徵值時，的解若A為一實數矩陣，假設=α+iβ為A的一個複數特徵值，其特徵向量為h，則取上式的共軛複數，可得但是A為實數矩陣，所以亦為A的特徵值且其對應的特徵向量為為了減少使用複數

3、解的不方便，以下再尋求其他實數方式的表示法[例題2]求以下微分方程組的通解[解][習題1]求以下微分方程組的通解[習題2]求以下微分方程組的通解9-2-2利用對角化A，的解求方程組由於A為一對角矩陣，此方程組可簡化成三個獨立的微分方程式而每一獨立的微分方程式可容易解得由此可知，若方程組矩陣，則可使方程組易於求解。若A原為非對角矩陣，則只要A有n個線性獨立的特徵向量，也可使A經轉換後，變成另一對角矩陣。中A為對角假設nn矩陣A的有n個獨立的特徵向量h1,h2,…,hn，其對應的特徵值分別為1,2,…,n。令nn矩陣P的n個行是由矩陣A的n個特徵向量所組成，即而原方

4、程組的通解為即原方程組的基本矩陣為注意在此過程中，不須去計算P−1，只須用到P及ΩD即可。[例題3]利用對角化方法求微分方程組的通解[解]A的特徵值與特徵向量為[習題1]利用對角化方法求微分方程組的通解[習題2]利用對角化方法求微分方程組的通解以上定理與常微分方程式的解頗相似，即非齊次方程組的一般解為齊次解與任一特解之和。齊次解特解一般解(或稱通解)求特解的方法可用參數變化法或對角化矩陣法9-3-1參數變化法假設特解(t)=(t)U(t)，其中為X'=AX的一個基本矩陣，U(t)為待決定的n1階t函數矩陣。將此解代入方程式X'=AX+G中，可得[例題4]試解

5、方程組[解][習題1]利用參數變化法，試解方程組[習題2]利用參數變化法，試解方程組9-3-2利用對角化A，的解求令nn矩陣P的n個行是由矩陣A的n個特徵向量所組成，即其中1,2,…,n為A的n個特徵值。令因此可得一非耦合方程組，而可寫成獨立解此n個一階微分方程式，再經變數轉換X=PZ，即可得解。[例題5]試解方程組[解]從上式也可看出基本矩陣，特解[習題1]利用對角化A，試解方程組[習題2]利用對角化A，試解方程組