《线性微分方程组》PPT课件

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1、4.1一阶线性微分方程组的一般概念4.2一阶线性齐次方程组的一般理论4.3一阶线性非齐次方程组的一般理论4.4常系数线性微分方程组的解法第4章一阶线性微分方程组§4.1、线性微分方程组的有关概念1线性微分方程组的定义定义形如的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.(4.1)称为(3.1)的通解.3.1（4.1）2函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为注:对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.(2)函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念可微函数可微可积函数可积此时,它们

2、的导数与积分分别定义为注:关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.(3)矩阵向量的范数定义3一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组:则(4.1)可写成(4.1)（4.4）(1)定义1(2)定义2初值问题（4.4）（4.5）4.4相应的齐次方程为柯西问题（4.4）（4.5）非齐次方程通解通积分例1验证向量是初值问题解:显然4n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题若令:4.6则有:而且:即方程(4.6)可化为4.7显然:4.64.7

3、且:事实上,由知即且即初值问题(4.6)与(4.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.例2将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解:设则有即有也即注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立.如:方程组不能化为一个二阶微分方程.§4.2一阶线性齐次方程组的一般理论1存在唯一性定理（3.5）2.一阶线性齐次方程组解的结构1.一阶线性齐次方程组叠加性:方程(4.10)的任何两个解的线性组合仍是解.定理4.2(4.12)定义4.1例题例1判

4、别向量函数的相关性要例题成立例2判别向量函数的相关性要使得线性无关线性无关例3判别向量函数的相关性成立要使得定义3.2规定为朗斯基行列式(3.18)定理:即向量函数组线性相关，则其朗斯基行列式恒为零。定理:即朗斯基行列式在一点处非零，则向量函数组线性无关。定理3.3:定理3.3‘即齐次方程的解组线性无关，则其朗斯基行列式恒不为零。定理3.4定义3.3即n阶齐次方程的n个线性无关解称为基本解组。即由基本解组构成的矩阵称为基解矩阵定理3.5齐次方程（3.10）必存在基本解组。定理刘维尔公式三、一阶线性非齐次方

5、程组解的结构定理3.6叠加性:方程(3.8)的任何解与(3.10)的解的和仍是(3.8)的解.方程(3.8)的任何两个解的差是(3.10)的解.§3.3常系数线性微分方程组的解法但是对于一般的方程组(3.10)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法.求线性齐次方程组(3.10)的通解问题，归结到求其基本解组.然而对于常系数线性齐次方程组约当标准型的形式与矩阵A的特征方程的根的情况有关上述方程也称为常系数齐次方程组(3.24)的特征方程式(3.21)1、矩阵A的特征根均是单根的情形.2、矩阵A的特征根有重单根的

6、情形.易见方程组有n个解1、矩阵A的特征根均是单根的情形.把这n个解代回变换之中，便得到方程组(3.24)的n个解即：方程组(3.24)的系数阵A的n个特征根是方程组(3.24)的一个基本解组定理[例題1]求以下微分方程組的通解[解]因此基本矩阵为故通解为或以分量表示为例2试求方程组的通解解它的系数矩阵是特征方程是先求对应的特征向量a,b,c满足方程,这三个特征根所对应的特征向量分别是故方程组的通解是可求出另两个特征根所对应的特征向量，>with(LinearAlgebra);>A:=<<3

7、-1

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13、3>>:>Eigenvalues(A):>Eigenvectors(A):>T1:=<<1>,<1>,<1>>:>T2:=<<-1>,<0>,<1>>:>T3:=<<1>,<-2>,<1>>:>Y:=C1*e^(3*t)*T1+C2*e^(2*t)*T2+C3*e^(6*t)*T3;现在考虑复根情形．因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理对应解是其中T1，T2是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.24）的实值解定理如果实系数线性

14、齐次方程组则其实部和虚部定理的向量函数，b1,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组在区间(a,b)上仍是线性无关的.实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果λ=a+ib是特征根，则其共轭也是特征根如果是区间(a,b)上的n个线性无关的复值解形式是方程组(3.24)对应于是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.24)对应于特征根的解，记作现将上述两个复值解，按下述方法分别取