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1、第25卷第1期湖南工业大学学报Vol.25No.12011年1月JournalofHunanUniversityofTechnologyJan.2011线性微分方程组的基本解组新探阳凌云，符云锦（湖南工业大学理学院，湖南株洲412007）摘要：对变系数线性齐次微分方程组的特殊类型的求解问题进行了探讨，给出了系数矩阵为A(x（)各元素为x的多项式）的一阶线性齐次微分方程组解的结构定理，以及系数矩阵为Af(x（)A为n阶常数矩阵，f(x)为可积函数）的一阶线性齐次微分方程组解的结构定理，并通过实例给出了具
2、体的求解方法。关键词：微分方程组；基本解组；解法；通解中图分类号：O175.1文献标志码：A文章编号：1673-9833(2011)01-0040-05ANewResearchonSolutionofLinearityDifferentialEquationsYangLingyun，FuYunjin（SchoolofScience，HunanUniversityofTechnology，ZhuzhouHunan412007，China）Abstract：Investigatesthesolutiono
3、fspecialvariablecoefficientlinearityhomogeneousdifferentialequations.Presentsthestructuretheoremoffirst-orderlinearhomogeneousdifferentialequationswithcoefficientmatrixA(x)(eachelementispolynomialofx)andthestructuretheoremwithcoefficientmatrixAf(x)(Aisn
4、thordinarymatrixandf(x)isanintegralfunction).Andprovidesspecificsolvingmethodsthroughexamples.Keywords：differentialequationsystems;fundamentalsetofsolution;solvingmethod;generalsolution型的求解方法。0引言定义1设存在可逆矩阵T，通过变换f(X)=T-1XT，求解一阶线性非齐次微分方程组使得f(A)与f(B)都能化成Jo
5、rdan标准型，且对应的Jordan，（1）块的阶数相同，则称矩阵A与B是同变换矩阵。定义2设n×n矩阵其关键是，能否求出其对应的齐次微分方程组（2）的一个基本解组。到目前为止，对于常系数线性齐次微分方程组，借助线性代数中的Jordan标准型理论或指数矩阵，使这一问题得到了彻底解决；但对于方程组（2）如何求出其基本解组，至今尚无一般n方法[1-5]。对此，本文给出了方程组（2）的2种特殊类A+Ax+…+Ax，01n收稿日期：2010-09-12作者简介：阳凌云（1947-），男，湖南湘潭人，湖南工业大
6、学教授，主要从事分析学及数学教育理论研究，作者简介：E-mail：yly_mc@sina.com阳凌云，等线性微分方程组的基本解组新探第1期412主要结论式中：，i=0,1,2,…,n；2.1系数为同变换等幂矩阵的一阶线性齐次微分方程组的解定理1若n×n矩阵A(x)是同变换等幂矩阵，且为常数，k,j=1,2,…,n。矩阵A(x)中A的特征单根所对应的特征向量为Tij若矩阵A,A,…,A是同变换矩阵，则称(i=0,1,2,…,n；j=1,2,…,n)，则方程组（2）的通解为：01nn（3）A(x)=A+
7、Ax+…+Ax01n为同变换等幂矩阵，且称线性微分方程组（4）为同变换等幂线性微分方程组。本文研究同变换等幂线性微分方程组和系数矩阵（5）为Af(x)的线性微分方程组，求基本解组的问题。证明因为矩阵A(x)是同变换等幂矩阵，由引理1知，存在可逆矩阵T，使得1引理引理1设n×n矩阵A(x)是同变换等幂矩阵，且矩阵A(x)中A的特征单根所对应的特征向量为Tij(i=0,1,2,…,n；j=1,2,…,n)，则存在可逆矩阵T，使得。利用变换Y=TZ，则有，即成立。。（6）证明因为A(x)=An是同变换等幂矩
8、+Ax+…+Ax01n阵，由定义1可知A,A,…,A是同变换矩阵。又因为01n矩阵A的特征单根所对应的特征向量为T，所以有ij易见方程组（6）有n个线性无关的解：，，，…，式中：T=(T,T,…,T)；12n。且有把这n个线性无关的解代回变换中，得到方程组-1-1-1-1nTA(x)T=TAT+TAxT+…+TAxT=01n（2）的一个基本解组，T是T的第j列j向量。所以方程组（2）的通解为式（5）。。定理2若n×n矩阵A(x)是同变换等幂矩阵，矩阵A(
