作业：特殊工件磨削加工的数学建模

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1、特殊工件磨削加工的数学建模（南京大学卞崟朱万嘉王吉米）摘要：本题要求根据旋转体工件的光滑母线方程，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削并作加工误差分析，我们将磨削过程抽象为图1.2所示的形象化模型，建立如图1.1所示的一静一动两个坐标系，问题重述：大型数控磨床主要由机床底座，下工作台，中工作台，上工作台（简称下台、中台和上台），工件工作箱和砂轮机箱等组成（见图1，其中仅画出砂轮而未显示砂轮机箱）。图1大型数控精密内外圆磨床的结构示意图根据题设要求，我们需运用数学建模的方法，根据旋转体工件的光滑母线方程，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加

2、工误差分析。为了解决这个问题，题中给出有效数据如下：各组步进电机的步进角度（每输入一个控制脉冲的主轴转动角）均为1；对步进电机的控制脉冲的最高工作频率不大于每秒100脉冲；各组变速器的传动比为10：1（即步进电机转1，则变速器输出0.1）；丝杆的螺距为12mm；中台转轴到上工作台的控制丝杠—螺母副中心线的距离mm，工件工作箱的夹具基准面到中台转轴的距离mm；为保证表面的加工质量，要求工件每转动100转，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量不超过4mm；工件工作箱主轴转动速度设定为每分钟250--300转。我们需基于以上数据解决以下四个实际问题：问题1：加工外表

3、面母线为的某旋转体工件，采用圆柱型砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析。问题2：加工外表面母线为的某旋转体工件，采用轮式砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析；问题3：在整个加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该圆周上的磨损会加大，从而影响加工质量。为此，希望在加工过程中使砂轮表面的磨损尽量均匀，请结合上述第1问题，提出一个修整策略，给出一个合理的加工方案，作相应的误差分析。问题4：请结合上述第2问题，提出一个修整策略，给出一个使轮式砂轮表面的磨

4、损尽量均匀的合理加工方案，作相应的误差分析。变量说明：我们以底座的左下角为原点O，以下台的运动方向为X轴，中台的运动方向我Y轴，建立基坐标系XOY。如图1.1所示。同时，我们以工件旋转轴与工作箱的交点为原点M，以工件转轴方向为轴，平行于工件箱上下边且的方向为轴，建立直角瞬时坐标系。如图1.1所示。图1.1建立坐标系问题一：坐标系的建立方法见变量说明，当上台的工件旋转时，我们先取任意时刻研究两坐标系之间的关系，具体切割过程可以抽象为如图1.2所示的平面图，设在瞬时坐标系内A点坐标为（Xa，Ya），B点坐标为(Xb，Yb)，在基坐标内Q点坐标为(X0,Y0)，M点坐标为（X1，

5、Y1）,图1.2点A，B为曲线f(x)上任意两点，Q点为砂轮与工件母线的接触点，设f(x)在点A处的切线的倾斜角为，在点B处的切线的倾斜角为,由倾斜角的定义可知：...(1.1)...(1.2)当f(x)为单调递增函数时，设坐标轴相对于坐标轴XOY旋转的角度为可使工件与砂轮正好切于A点，此时点Q与点A重合，由于此时f(x)在A点的切线平行于砂轮的切割面，故而，同理当f(x)为单调递减函数时，，得：...(1.3)...(1.4)当坐标轴相对于坐标轴XOY旋转的角度为时，砂轮与工件的切点Q与A点重合，根据两个坐标系之间的旋转关系结合旋转矩阵的知识可知：...(1.5)同理可得

6、：...(1.6)因为，用matlab给出f(x)图像，如图1.3所示f(x)为单调递减函数，由式（1.1）-（1.4)得：图1.3（由于在（0,125）处为极值点，所以）,带入式（1.5），（1.6）可得:...(1.7)...(1.8).由题意可知，底座步进电机控制工件沿x轴方向平移，下台步进电机控制工件沿y轴方向平移，中台步进电机控制工件旋转角度，所以得:...(1.9)将(1.7),(1.8)带入(1.9)可知：...(1.10)根据题意，各组步进电机的步进角度（每输入一个控制脉冲的主轴转动角）均为，各组变速器的传动比为10:1（即步进电机转，则变速器输出），丝杠的

7、螺距为12mm，因而当输入一个脉冲时，下台中台平移距离为，再由图1.所示的几何关系得：图1.4，所以，下台步进电机所需输入的脉冲数为：中台步进电机所需输入的脉冲数为：底座步进电机所需输入的脉冲数为：由于工件每转动100转，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量不超过4mm，为了使时间尽可能的短，工件工作箱主轴转动速度可以设为300转，所以在x轴方向上每分钟的平移距离不超过12mm，所以底座步进电机所需输入的脉冲总时间为：因为步进电机的控制脉冲的最高工作频率不大于每秒100脉冲，所以下台，中台步进电机所需