上海交大数值分析课件数值分析4-1数值积分

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1、第四章数值积分与数值微分§1数值积分概论一、数值求积的基本思想二、代数精度的概念三、插值型的求积公式四、例题一、数值求积的基本思想1.定积分及其计算对于积分只要找到被积函数f(x)的原函数F(x)，便有下列牛顿—莱布尼兹公式2.为何要进行数值积分？原因之一：f(x)的原函数难以求解或太复杂例原因之二：f(x)以离散数据点形式给出xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1…yn3.数值积分的基本思想角度1：由定积分的定义积分和式是一些点上函数值的线性组合。故数值积分的基本思想：用被积函数在积分区间上某些节点xk，(k=0,…,n)处的函数值的线性组合作为

2、定积分的近似值。即3.数值积分的基本思想角度2：由定积分的几何意义，只需计算曲边梯形的面积xy由此可得以下公式梯形公式：中矩形公式：左矩形公式：右矩形公式：这些公式都可写成如下形式：求积系数求积节点这类公式称为机械求积公式注：这类公式有无穷多个机械求积方法的特点：将积分求值问题归结为函数值的计算，避开了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。机械求积方法的两个要素：求积节点xk(k=0,…,n)求积系数Ak(k=0,…,n)二、代数精度的概念1.为何引入代数精度？数值求积方法是近似方法，为了保证精度，我们自然希望公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这就

3、提出了所谓代数精度的概念。2.代数精度的定义定义1若某个求积公式对于次数≤m的多项式均能够准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式有m次代数精度。指代数多项式定义1ˊ若某个求积公式对于1,x,…,xm均能够准确成立，但对于xm+1就不准确成立，则称该求积公式有m次代数精度。3.代数精度的应用之一：判断代数精度例证明：梯形公式具有一次代数精度。证明梯形公式当f(x)=1时，左边=右边=故左边=右边公式至少具有0次代数精度当f(x)=x时，左边=右边=故左边=右边公式至少具有1次代数精度.当f(x)=x2时，左边=右边=故左边≠右边公式具

4、有1次代数精度.结论：中矩形公式具有一次代数精度。3.代数精度的应用之二：构造数值积分公式注：(1)从习题1(4)可以看出，数值积分公式可以设计被积函数函数值和导数值。(2)思考构造如下数值积分公式从本例可知：需要求解非线性方程组，这将非常困难！考察书后习题1三、插值型的求积公式定义：插值型求积公式设f(x)以离散数据点形式给出xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1…yn由插值条件构造插值多项式Ln(x)，并构造如下的求积公式称作是插值型的。???插值型求积公式是机械求积公式吗？答：是！因为插值型求积公式为可看作机械求积公式的Ak取为现在的问题是：

5、???机械求积公式是插值型求积公式吗？答：不一定！因为求积系数AK不一定满足现在的问题是：定理：证明：先证明充分性由插值余项定理可知，对于插值型的求积公式，其余项为式中ξ与变量x有关。机械求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。若求积公式是插值型的，则对于次数≤n的多项式f(x)，其余项R[f]等于0，故这时求积公式至少具有n次代数精度。充分性得证。再证明必要性已知求积公式至少具有n次代数精度，则公式对于插值基函数lk(x)应准确成立，即有注意到lk(xj)=δkj，上式右端实际上等于Ak，故求积公式是插值型的。思考：梯形公式是插值型

6、求积公式吗？试总结证明机械求积公式是插值型求积公式的方法。四、例题例1判明以下两个求积公式的代数精度。(1)(2)解(1)记由于故所以求积公式(1)具有一次代数精度。类似方法可知(2)具有三次代数精度例2验证求积公式是插值求积公式解方法1：从求积公式看出，求积节点是求积系数是由于所以求积公式是插值型的。作业：习题1五、关于数值求积公式的余项注：有了这个结论，我们就可以得到求积公式余项的细致表达式。六、关于求积公式的收敛性与稳定性定义2：收敛性判断：插值型求积公式是否收敛？定义3:稳定性思考：稳定性与收敛性的关系？定理２:（稳定性的一个充分性定理）Ak>

7、0→稳定性