第9章--刚体的平面运动.doc

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1、第九章刚体的平面运动§9-1刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动在工程中是常见的。例如（1）行星齿轮机构中动齿轮B的运动（2）曲柄连杆机构中连杆的运动；（3）车轮沿直线轨道滚动。图1它们的共同运动特点是：在运动时，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。刚体的这种运动称为平面运动。根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图形S在其自身平面内的运动。设刚体作平面运动，某一固定平面为，如图2所示，过刚体上点作一个与固定平面相平行的平面，在刚体上截出一个平面图形，平面图形内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面内运动

2、。过点作与固定平面相垂直的直线段，直线段的运动为平移，其上各点的运动均与点的运动相同。因此刚体作平面运动时，只需研究平面图形在其自身平面内的运动即可。如图3所示，在平面图形内建立平面直角坐标系，来确定平面图形的位置。为确定平面图形的位置只需确定其上任意直线段的位置，16图2图3线段的位置可由点的坐标和线段与轴或者与轴的夹角来确定。即有上式称为平面图形的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。点称为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，刚体在任一瞬时的位置和运动规律就可以确定了。现在来研究平面图形S的运动。平面图形在其自身平面内的位置，完全可以由

3、图形内任意一线段O’M的位置来确定。平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动(牵连速度)和绕基点的转动(相对运动)。即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。但是，选取不同的基点A或B，则平动的位移是不同的，从而，图形随A点或B点平动的速度和加速度也不相同。因此，图形的平动与基点的选取有关。然而对于绕不同的基点转过的转角△φ和△φ′的大小及转向却总是相同，即△φ=△φ′，于是ω=ω′，ε=ε′这说明，在任意瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都是相同的。即图形的转动与基点的选取无关。16§9

4、-2求平面图形内各点速度的基点法1.基点法平面图形运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成。因此，运用速度合成定理求平面图形内各点的速度。如图4所示，取为基点，求平面图形内点的速度，设图示瞬时平面图形的角速度为，由速度合成定理知，牵连速度，相对速度（*）求平面图形内任一点速度的基点法：在任图4一瞬时，平面图形内任一点的速度等于基点的速度和绕基点转动速度的矢量和。2.速度投影法已知平面图形内任意两点、速度的方位，如图5所示，将式（*）向连线投影为：即得速度投影定理：平面图形内任意两点的速度在两点连线上投影相等。图416例1如图所示，滑块A、

5、B分别在相互垂直的滑槽中滑动，连杆AB的长度为l=20cm，在图示瞬时，=20cm/s，水平向左，连杆AB与水平线的夹角为，试求滑块B的速度和连杆AB的角速度。解：连杆AB作平面运动，因滑块A的速度是已知的，故选点A为基点，滑块B的速度为上式中有三个大小和三个方向，共六个要素，其中的方位是已知的，的大小是未知的；的大小和方位是已知的；点B相对基点转动的速度的大小是未知的，，方位是已知的，垂直于连杆AB。在点B处作速度的平行四边形，应使位于平行四边形对角线的位置，如图a。由图中的几何关系得的方向铅直向上。点B相对基点转动的速度为则连杆AB的角速度为

6、转向为顺时针。16本题若采用速度投影法，可以很快速地求出滑块B的速度。如图b，有即则但此法不能求出连杆AB的角速度。例2半径为R的圆轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，如图所示。已知轮心O以速度运动，试求轮缘上水平位置和竖直位置处点A、B、C、D的速度。解：选轮心O为基点，先研究点C的速度。由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，故点C的速度为如图所示，则有圆轮的角速度为各点相对基点的速度为A的速度为B、D的速度为方向如图所示。16§9-3求平面图形内各点速度的瞬心法一、定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上(或图形的延伸部分)都唯一地存在一个速度为零的点，

7、称为速度瞬心或瞬心。证明：已知平面图形的角速度为ω，如图所示，已知点的速度，过点作速度矢量的垂线，沿角速度的旋转方向，在直线段上找点，使则相对速度，则点的速度，（证毕）例3发动机的曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA长r=30cm，以等角速度ω=2rad/s绕O点转动；连杆AB长为l=40cm。试求当∠OAB=90°时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。解(1)运动分析，选研究对象曲柄OA绕O轴转动，滑块B沿水平方向运动，连杆AB作平面运动，因此，选AB杆为研究对象。16(2)选基点由于连杆上A点速度已知，所以选A为基点。这样，B点的运动，可以视为随基点

8、A的平动与绕基点A的转动的合成运动。(3)根据基点法求未知量由公式得：vB=vA+vBA已知vA=rω=30×2=60cm/s，方向