数列综合问题 拔高篇 学生版

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1、数列综合问题（Ⅰ）基础知识详析1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则为等差数列；②若，则为等比数列。(3)中项公式法：验证都成立。2.在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。4．注意事项：⑴证

2、明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。⑷注意一些特殊数列的求和方法。⑸注意与之间关系的转化。如：=，=．⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形

3、成解题策略．⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．（Ⅱ）高考数学数列综合题选1．（北京，18）函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。（I）求及，的值，并归纳出的表达式;（II）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……8），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。2．（北京，20）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275.现将这些数按下列要求进行分组

4、，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止.（I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数;（II）当构成第n（n

5、满足（1）证明对一切正整数n成立；（2）令,判断的大小，并说明理由。4．（江苏，20）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.（Ⅲ）范例分析例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，8例2．已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。例3．已知数列{a}是首项a1＞0，q＞-

6、1且q≠0的等比数列，设数列{b}的通项b=a-ka(n∈N)，数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．例4．(全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收

7、入才能超过总投入?例5．设实数，数列是首项为，公比为的等比数列，记，求证：当时，对任意自然数都有=8例7．设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a；例8．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。例9．数列中，且满足⑴求数列的通项公式；⑵设，求

8、；⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。8例10．如图，在y轴的正半轴上依次有点其中点，且，在射线上依次有点点的坐标为（3，3），且⑴用含的