《数列综合问题》word版

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1、数列综合问题一、教材分析:Ⅰ、地位与作用数列是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，在高考中占有重要的地位.考纲要求:“理解数列的概念,了解通项公式的意义,了解递推公式,掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式,并能解决简单的问题.”教材中数列编排在函数内容之后,因为数列是以正整数为自变量的一种特殊函数,这样安排既有利于认识数列的本质,也有利于加深和巩固对函数概念的理解.数列综合问题以数列为引线和依托,结合函数、方程、不等式、解析几何等知识,题型新颖,解法灵活,能有效地考查学生的思维能力、创新意识和实践能力

2、.Ⅱ、重点、难点与关键根据高考《考试说明》的要求，结合对历届高考试题的分析,本节内容的教学重点是:利用数列的通项公式与前项和等有关知识为主要工具求解数列综合问题.而与数列交汇的、呈现递推关系的综合性试题,特别是与不等式的综合是教学的难点.从教学实践来看,学生对数列综合题存在畏难情绪,总觉得难以掌握,因此教学的关键是运用转化思想将问题转化成简单的、熟悉的问题来求解,同时注意培养学生的良好的个性品质,特别是排除万难的精神.二、高考回顾18“在知识的交汇点设置能力型问题”是指导高考命题的思想之一.数列是高中数学知识结构的

3、一个重要的交汇点.数列综合题在每年高考中都会重点考查.下面列表对近两年高考试题作分类统计,统计如下表:2004年2005年全国1分奇、偶项的递推数列的通项等比数列的公比与前项和全国2通项与前项和、等比数列的判定等比数列、等差数列的综合全国3数列通项、数列不等式的证明等比数列、等差数列的综合全国4导数、数列求和与数列极限———————————北京抽象函数、数列通项与极限等比数列的判定、数列极限上海点列、等差数列、探索性问题涉及两个数列的应用性问题天津函数迭代、数列的通项与极限数列的求和、数列的极限重庆数列不等式、数列

4、项大小比较数学归纳法、数列不等式辽宁函数迭代中的数列不等式函数迭代、数列不等式证明山东同全国卷1导数、等比数列的判定18江苏数列前项的和、探索性问题数列不等式的证明浙江点列问题、等比数列的判定点列问题、等差数列的判定福建涉及两个数列的应用性问题递推公式、数列不等式湖北递推数列的极限、数列不等式数列不等式的证明、数列极限湖南解析几何、递推数列的综合应用探索性问题、数列不等式广东三角函数中的等比数列问题无江西同全国卷1数列通项、数列不等式的证明从上表可以看出,2004年的15份理科试题中,每套试题均有一道解答题.其中处

5、在压卷题位置的有8道;2005年的16份理科试题中,除广东卷外每套试题均有一套解答题,其中处在压卷题位置的有5道.由此不难得知,数列解答题是高考命题必考的难度大的内容,其命题热点是与不等式交汇的、呈现递推关系的综合性试题,其中,以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点.三、数列综合问题类型及求解策略由于数列综合问题形式多变、思考性强、区分度高,因此大多数同学解此类问题时思维常常受阻,甚至无从下手,下面我结合近几年的高考题,就数列综合问题类型及解题策略作一

6、点探讨:181、数列各部分知识的综合例1.已知数列为等差数列(公差),中的部分项组成的数列为等比数列,其中,求的值.解析:由题意得,即,∴∵∴.在等比数列中,公比又∴又是等差数列的第项,∴∴∵∴∴=[求解策略]解纯数列综合题,要充分利用等差数列与等比数列的有关性质求解.本题的关键是注意到的双重身份——既是等比数列的第项,又是等差数列的第项,先求出通项,再求出其前项的和.2、数列与函数的综合例2.已知函数是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的,都满足若.求证:18数列是等比数列.分析一:由于已知条件只有抽象函数关

7、系式和的表达式,要求证数列是等比数列,最关键是求出,可以尝试数学归纳法.证法一:由已知可得:猜想:用数学归纳法证明(略).分析二:将所给函数关系式适当变形,根据其形式特点构造另一个函数,设法用此函数求出.证法二:当时,由可得:,令上式为:分析三:设法将转化为熟悉的数列.证法三:所以,即是公差为首项为的等差数列.[求解策略]解数列与函数的综合题,一般要利用函数、数列的性质以及它们之间的相互联系.本题是一道已知抽象函数关系,利用函数迭代求证数列是等比数列的问题.所提供的三种证法中,证法一思路自然,但较为繁琐;证法二技巧

8、性强;证法三思维跨度大,但三种证法都体现了一个不变的事实:充分应用已知条件变形转化,根据其形式特点构造新的数列,然后利用数列的性质求解.3、数列与不等式的综合例3.(2004年重庆卷)设数列满足18对一切正整数成立；(1)法一:(数学归纳法)①当时,不等式成立.②假设时,成立.当时,即时,成立.综上,可知对一切正整数成立.法二:(数学归纳法)①当时,不等式成