15数列综合问题

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1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编15：数列综合问题填空题．已知数列{}满足,则该数列的前20项的和为_____________.【答案】2101.．如图所示的螺旋线是用以下方法画成的,是边长为1的正三角形,曲线分别是为圆心,为半径画的弧,曲线称为螺旋线的第一圈;然后又以A为圆心,半径画弧,如此继续下去,这样画到第圈.设所得螺旋线的总长度为,则=_________________【答案】．数列的通项,其前项和为,则为___________.【答案】470．已知实数a1,a2,a3,a4满足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,则

2、a4的取值范围是______.【答案】．已知,,则__________.【答案】．个正整数排列如下:1，2,3,4,,n2，3,4,5,,n+l3，4,5,6,,n+2n,n+l,n+2,n+3,,2n一1则这个正整数的和S=______________.【答案】第37页，共37页．设等比数列的公比,表示数列的前n项的和,表示数列的前n项的乘积,表示的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即,则数列的前n项的和是____(用和q表示)【答案】．已知数列满足,则其前99项和=________.【答案】9．已知数列{an}的通项公式为an=-n+

3、p,数列{bn}的通项公式为bn=2n-5.设cn=若在数列{cn}中,c8>cn(n∈N*,n≠8),则实数p的取值范围是________.【答案】(12,17)．已知,,则第n个等式为______________________________.【答案】．如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则____.【答案】216．数列满足,,且=2,则的最小值为____.【答案】解答题第37页，共37页．设数列满足:是整数,且是关于x的方程的根.(1)若且n≥2时,求数列{an}的前100项和S100;

4、(2)若且求数列的通项公式.【答案】．已知数列的各项都为正数,且对任意,都有(k为常数).(1)若,求证:成等差数列;(2)若k=0,且成等差数列,求的值;(3)已知(为常数),是否存在常数,使得对任意都成立?若存在.求出;若不存在,说明理由.第37页，共37页．已知数列{an}和{bn}满足:,其中λ为实数,n为正整数.(Ⅰ)若数列{an}前三项成等差数列,求的值;(Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;(Ⅲ)设0

5、;若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)证明:,第37页，共37页由条件可得,所以(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+9]=(-1)n+1(an-2n+6)=(-1)n·(an-3n+9)=-bn又b1=,所以当λ=-6时,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列,当λ≠-6时,b1=≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).故当λ≠-6时,数列{bn}是以-(λ+6)为首项,-为公比的等比数列.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-6,故知bn=-(λ+6)·(-)n-1,于是可得

6、Sn=要使a3a时存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a

7、是增函数即实数的取值范围为(2)先用数学归纳法证明.当时,成立,假设时,成立,当时,由(1)知时,函数在区间上是增函数,即成立,当时,成立下证..综上．设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:①;②.(1)若等比数列为()阶“期待数列”,求公比;(2)若一个等差数列既是()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;(3)记阶“期待数列”的前项和为:(ⅰ)求证:;(ⅱ)若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.【答案】解:(1)若,则由①=0,得,由②得或.若,由①得,,得,不可能.综上所述,

8、.第37页，共37页(2)设等差数列的公差为,>0.∵,∴,∴,∵>0,由得,,由题中的①、②得,,两式相减得,,∴,又,得,∴.(3)