高数答案第9章.doc

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1、第9章（之1）（总第44次）*1．微分方程的阶数是（）（A）3；（B）4；（C）6；（D）7．答案（A）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2．下列函数中的、、及都是任意常数，这些函数中是微分方程的通解的函数是（）（A）；（B）；（C）；（D）．答案（D）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A）中的函数只有一个任意常数C；（B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数及，但当令时，函数就变成了，实质上只有一个任意常数；（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程

2、的解．*3．在曲线族中，求出与直线相切于坐标原点的曲线．解　根据题意条件可归结出条件，由，，可得，故，这样就得到所求曲线为，即．*4．证明：函数是初值问题的解．证明，28，代入方程得，此外故是初始值问题的解．*5．验证（其中为任意常数）是方程的通解．证明，即，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数含有一任意常数，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程：（1）；解将等式改写为，再在其两边同时对求导，得，代入上式，即可得到所求之微分方程为．（2）．解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对求两次导数，

3、得，．从以上三个式子中消去任意常数和，即可得到所求之微分方程为．**7．建立共焦抛物线族（其中为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解在方程两边对求导有，从这两式中消去常数所求方程为．28**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线上任一点处的法线都经过坐标原点．解　任取上的点，曲线在该点处的切线斜率为=．所以过点的法线斜率为，法线方程为=，因为法线过原点，所以从而可得所求微分方程为．第9章（之2）（总第45次）教学内容：§9.2.1可分离变量的方程；§9.2.2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1

4、）；解：分离变量，两边积分，得，即．（2）；解：分离变量，两边积分就得到了通解．（3）．解：，，即．28**2．试用两种不同的解法求微分方程的通解．解法一（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．分离变量，，，并积分得，所求通解为．解法二（线性方程的常数变易法）将原方程改写为，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为，其通解为．代入原非齐次方程得，解得，代入即可得原方程的通解．*3．求解下列初值问题：（1），．解：=，()，，，，，，，．（2），；解:，，，，，，．28（3）

5、，；解：，，．，由，可确定，所以．（4），．解：方程变形为，是一阶线性非齐次方程，其通解为由，得，所以特解为：．**4．求微分方程的通解（提示将看作是的函数）．解：将看作是的函数，原方程可化为，这是一阶线性方程，将其中代入一阶线性方程求解公式，得通解．28**5．求满足关系式的可导函数．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对求导，可得微分方程，即，分离变量得，积分得，在原方程两边以代入，可得初试条件．据此可得，所以原方程的解为　．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为），求降落伞的下落速度与时间的函数关系．解：根据牛顿运动第二定理有．这是

6、一个可分离变量方程，分离变量并积分得．由初始条件，得，即得．**7．求一曲线，已知曲线过点，且其上任一点的法线在轴上的截距为．解：曲线在点处的法线斜率为，所以法线方程为．只要令，就可以得到法线在轴上的截距为．据题意可得微分方程，即．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线，由于曲线过点，所以，所以所求曲线方程为．***8．求与抛物线族（是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．解：在给定曲线上任意一点处切线斜率为，从上面两式中消去得，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程．　设所求曲线方程为，在同一点处切线斜率为28，则根据正交要求有，这样就得到了所求曲

7、线族应该满足的微分方程．这是一个可分离变量方程，分离变量，积分得所求曲线族，即椭圆族．***9．作适当变换，求微分方程的通解．解原方程可化为，在换元下方程可化为，这是一个一阶线性方程，其通解为．***10．作适当变换，求微分方程的通解．解：令，代入方程整理得，积分得，以代入上式，即得原方程的通解：．第9章（之3）（总第46次）教学内容：§9.2.3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1)；解：，=(1+)，这是一个一阶齐次型方程．　令，则，即，于是原方程可化为．这是一个可分离变量方程．分离变量，并积分，得，即．以代入，得所求的通解为