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1、第十一章曲线积分与曲面积分(09级下学期用)§1对弧长的曲线积分1设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，（B）A.0B.C.D.ABC都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,则=(C)A.4B.2C.D.3、有物质沿曲线：分布，其线密度为，则它的质量(A)A.B.C.D.4．求其中L为由所围区域的整个边界解：=5．其中L为双纽线解：原积分=6．其中L为原积分7．其中L为球面与平面的交线解：将代入方程得于是L的参数方程：，又原积分=8、求均匀弧的重心坐标，，§2对坐标的曲线积分一、选择题1.设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，(D)A.0B.C.D.ABC
2、都不对2．设为的正向，则(A)A.0B.4C.2D.-23．为的正向，(B)A.2B.-2C.0D.二、计算1．，其中由曲线从到方向解：2．其中是正向圆周曲线解：由奇偶对称性，：3．其中为从点到的有向线段解：方程：，三、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。最小，此时四、空间每一点处有力，其大小与到轴的距离成反比，方向垂直指向轴，试求当质点沿圆周从点到时，力所作的功解：由已知五、将积分化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周解：,，于是§3格林公式及其应用一、选择题1.若是上半椭圆取顺时针方向,则=(C)A.0B.C..D2.设为的正向，则(C)A．2B.-2C.0D.3
3、.设为曲线的正向，则(B)A．9B.-18C.-9D.0二、计算题1.设是圆取逆时针方向，则解：将方程代入被积函数再由格林公式得原式=2．其中为点到的抛物线的弧段。解：因故积分与路径无关，取3．求，为(1)(2)正方形边界的正向解：(1)直接用格林公式=0(2)设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为所以4、验证在面上是某函数的全微分，求出证明：，，5、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算的值解：取路径：沿从到；再沿从到则或，代入计算。§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分，其中是平面在第一卦限的部分解：2、求曲面积分，其中是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面解：=2
4、3、求曲面积分，其中是锥面被柱面所截得的有限部分解：==§5对坐标的曲面积分一、选择题1.设关于面对称反向，是在面的前侧部分，若关于为偶函数，则（A）A.0B.C.D.ABC都不对2.设取上侧,则下述积分不等于零的是（B）ABCD3.设为球面取外侧,为其上半球面,则有（B）A.B.C.D.二、计算1．其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧2．其中为锥面被平面所截部分的外侧3.其中为被平面所截部分，其法向量与z轴成锐角三、用两类曲面积分之间的关系计算1．求其中是柱面在部分，是的外法线的方向2．其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧=四、试求向量穿过由及及所围成圆台外侧面（不含上下底
5、）的流量§6高斯公式1.设是抛物面介于及之间部分的下侧，求解：,加面后用高斯公式。2．设为取外侧,求3.设为平面在第一卦限部分的上侧，则=4.求矢量场穿过曲面所围成的闭曲面外侧的通量。5.求，其中有连续的二阶导数，是所围立体的外侧6.求，其中是及所围曲面的外侧7.，其中为取外侧§7斯托克斯公式1、设为依参数增大方向的椭圆：，求（0）2．设为平面与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向，求（2）3.设为圆周若从轴正向看依逆时针方向，则（）4、其中为圆周若从轴正向看依逆时针方向。5．,其中为曲线从轴正向看依逆时针方向。6．,其中为椭圆若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向。第十章自测题一、填空
6、（每题4分，共20分）1、设平面曲线为下半圆周，则曲线积分（）2、设为椭圆，其周长为,则(12)3、设L为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分（）4、设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则5、设为球面外侧，则曲面积分（0）二、选择题（每题5分，共15分）1、设是在第一卦限部分.则有(C)A．B.C.D.2、设取上侧，则下述积分不正确的是(B)A．B.C.D.3、设L是从点(0,0)沿折线、y=1-
7、x-1
8、至点A(2,0)的折线段，则曲线积分为（D）A0B-1C2D–-2三、计算（每题8分）1．计算曲面积分，其中为锥面在柱体内的部分2、过和的曲线族，求曲线使沿该
9、曲线从到的积分的值最小解：。最小，此时3、计算曲线积分，其中是以为中心，为半径的圆周（取逆时针方向）解：设为圆周：取逆时针方向，其参数方程原积分为4、计算其中L是平面与柱面的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向.（-24）5．计算曲面积分其中是曲面的上侧。（-）6．计算曲面积分其中S是由曲面与两平面围成立体表面的外侧（）7．设S是椭球面的上半部分，点,为S在点P处切平面,为点到切平面的距离,求.（）四、（9分）在变力作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面第一卦限的点，问取
