椭圆专题复习.doc

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1、椭圆专题复习【考纲要求】1.掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2.掌握椭圆的简单几何性质1.椭圆的定义1.第一定义：满足的动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆2.第二定义：到一个定点与到一定直线的距离之比等于一个常数(0

2、的参数方程焦点在轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为：（为参数）（其中为椭圆的长轴长，为椭圆的短轴长）124椭圆的简单几何性质以椭圆为例说明（1）范围：，（2）对称性：椭圆的对称轴:轴，轴；对称中心：原点（3）顶点：长轴顶点：，，短轴顶点：，（4）离心率：。【注】①；②越大，椭圆越扁；③（5）准线：椭圆有左，右两条准线关于轴对称。左准线：右准线：（用第二定义推导）（6）焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离。左、右焦半径分别为，5点与椭圆的位置关系已知椭圆，点，则：6关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点与两个焦点所

3、构成的称为焦点三角形。12设，则有：P①，当（即为短轴顶点）时，最大，此时(r表示焦半径)②的面积当（即为短轴顶点）时，最大，且③（2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。AB设，的中点为，则弦长（左焦点取“+”，右焦点取“-”）当轴时，最短，且7椭圆的光学性质（了解）从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。*8.关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题

4、时，常用此法2点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法二典例剖析1求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为12，则椭圆方程为____________【例2】求与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程。【例3】△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.2椭圆的性质【例6

5、】；椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）【例7】方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()3.最值问题（难）【例10】已知是椭圆的左，右焦点以及两定点【先了解】（1）设为椭圆上一个动点①求的最大值与最小值；②求的最大值与最小值。（2）过点作直线与椭圆交于两点，若为锐角（为原点），求直线的斜率的取值范围【解】（1）①由已知：点在椭圆内部。易知所以，。依定义有：，所以，由三角不等式可得：，即。当且仅当三点依次共线以及三点依次共线时，左右等号分别成立。所以；

6、（此时三点依次共线）12。（此时三点依次共线）②易知所以，设，则。因为，故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大1.（2）显然直线不满足题设条件，设，设直线的方程为：，联立，消去，整理得：∴由得：或又所以又所以，即所以。故由①、②得：或4直线与椭圆的位置关系（难）12【例18】设是椭圆上两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线交椭圆于两点（1）确定的取值范围，并求直线的方程（2）是否存在这样的实数，使得四点在同一圆上？并说明理由【解】（Ⅰ）解法1：依题意，设直线AB的方程为代人整

7、理得①设，则是方程①的两个不同的根，∴②且。由N（1，3）是线段AB的中点，得：解得k=－1，代入②得，。则的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB的方程为（Ⅱ）∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，代入椭圆方程，整理得设CD的中点为.是方程③的两根，∴于是即由弦长公式可得④12将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，

8、假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理

9、可得故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

10、AN

11、2=

12、CN

13、·

14、DN

15、，即⑧由⑥式知：⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.三解题小结1.离心率是圆锥曲线的重要性质，求离心率及其取值范围，就是寻找与或之间的关系2.求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：（1）