基本不等式求最值五大误区.doc

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1、基本不等式求最值的五大误区基本不等式指的是：调和平均≤几何平均≤算术平均≤幂平均，即（）。在高中数学课本中重点讲几何平均不大于数学平均：，（当且仅当时取等号）。高中学生在用基本不等式时，常常因为思维不缜密而出现错误。所谓思维缜密就是考虑问题全面、周全、不遗漏。误等、误定、误拆、误正和误传是历届高中学生用基本不等式求最值的五大误区，大家一定要引起高度的注意。一、误“等”是忽视基本不等式取等号的条件例1求证：（即求函数的最小值）分析：把拆成便于使用基本不等式：，当且仅当，推出时取等号。例2．求的最小值。分析：也用刚才的方法，得出最小值2是错误的，事实上得出，推出这是不可能的。例1

2、和例2进行比较，为什么用同样的数学方法解题，例1是正确的，而例2导致错误呢？其实推出，而则是误等---错误的等号，因为它导致。例2的正确解法如下：解：设，则，，取，则，可见在上是增函数，故当（此时）时函数有最小值第4页共4页，即函数的最小值是。二、误“定”是忽视其定值条件用基本不等式求最值时，若求和式的最小值时，其积为定值；若求积的最大值时，其和应为定值。例3．求函数的最小值。分析：因为，，所以函数的最小值是，可见造成这种解法错误的原因是误定：求和的最小值时，其积并非为定值，那么，正确的解法又如何呢？，故函数最小值是16，当且仅当即时取等号。三、误“拆”是忽视拆项过程中，既不

3、能满足定值的条件，又不能满足取等号取到的条件在例3中，把拆成属于误拆，下面例4的错误解答也属于误“拆”。例4．求，的最大值。分析：虽然这种误拆能保证“和”一定的条件，但是却出现了误等的错误：同时成立是不可能的，这是一中错误的解法。正确解法如下：解：，当且仅当即时取得可以看出误拆是造成误定的根源，也是造成误等的根源，所以在拆项时必须非常小心，既要保证等号成立，又要保证使和一定时求积的最大值或者保证积一定时，求和的最小值。四、误“正”是忽视其使用前提条件，各项为正数第4页共4页例5．已知，且，求的最值。分析：不分青红皂白求出的最小值是2，也是错误的，因为当，时，不能保证。只是形式

4、主义地套用基本不等式从而产生错误。正解：当或者时从而，故此时的最小值是2。当或时此时，的最大值是例6．求的值域错解：当且仅当即时取等号，故的值域是[4，+∞）。这种解法也是以偏概全的，因为函数的定义域为。正解：，当且仅当，即时等号成立，故的值域是。五、误“传”是指两次以上使用基本不等式时，误将等号传递例7．设，求的最小值错解：因为，故由基本不等式即，又因为，所以，即的最小值是这种解法是错误的，原因在于解题时两次使用基本不等式，第一次使用基本不等式时等号成立的条件是，即，而第二次使用基本第4页共4页不等式时等号成立的条件是，因此上述两个不等式中等号不能同时成立，造成等号误传是错

5、误的，这是属于反驳论证的思维形式。正解1：又由当且仅当即时，的最小值为。正解2：设则+=即的最小值为。综上所述，误“拆”、误“等”与误“定”是相互联系的，而误拆是误等与误定的先导，学习基本不等式求最值是类型很多，但误区与陷井也很多，稍有不慎，形成大错，防止形式主义的套用基本不等式，而没有掌握其精神实质是错误根源，要把“形”与“神”结合起来，避免进入误区，跌入陷井。第4页共4页