基本不等式求最值的三个误区

《基本不等式求最值的三个误区》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、基本不等式求最值的三个误区何启玉（南通市第二中学邮编：226002）运用基本不等式求函数最值是高中数学求最值的一种常用方法。在解题过程中，不少学生由于未能正确理解用求函数最值的三大隐含条件——“一正”，“二定”，“三相等”，致使解题进入误区。本文用例举法加以说明。误区一：非正基本不等式的两个变量都必须是正实数。如果两个变量异号或同为负实数，不等式要么不成立，要么不等号的方向会改变。例1．已知实数，求的取值范围。分析，未必是正数。不能直接用基本不等式来解题。解：当时，，即当且仅当即时取等号。当时，，，则当且仅当即时取等号。从而,故的

2、取值范围是例2．已知，，，求的取值范围。分析，，，故不能直接用基本不等式。解：，，，4当且仅当即时取等号。即误区二：不定用基本不等式求最值时必须满足和为定值，或积为定值。如果不具备“定值”条件时，需进行适当的“配凑”将其构造成定值。例3．求的最小值分析，，但与的乘积不是定值，看似无法用基本不等式求解，若将拆成即可。解：，当且仅当即舍去)时取等号。当时例4．当时，求的最大值分析由得，但与的和不是定值，若将拆成即可。解：当且仅当即时取等号。当时注：本题也可用二次函数配方法求最值。误区三：等号取不到4用基本不等式求最值时，必须保证等号能

3、够取到。例5．已知，求的最小值。分析，，为定值。但不可能成立，故不能直接用基本不等式来解。解法一通过拆项来满足等式成立的条件。当且仅当即时取等号。当时，解法二通过换元，利用函数的单调性。令则易得在上是减函数。故当即时，例6．已知，，，求的最小值。分析若直接用4得看似简而易得，但两次等号成立的条件分别是和显然矛盾。若将写成则只需用一次基本不等式即可。解：，，，当且仅当即时取等号。综上，运用基本不等式求最值必须保证同时满足“一正，二定，三相等”三个基本条件。如果三个条件中有一个不成立，则必须通过转化或配凑使其满足条件后再求解。只有准确

4、理解基本不等式求最值的方法，才能确保解题思路清晰，过程正确，结论无误。联系人：何启玉，联系电话：13814706780E-mail:heqiyu0628@sina.com通讯地址：江苏省南通市唐闸大南新村16—405邮政编码：2260024