走出均值不等式求最值的误区-论文.pdf

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1、第30卷第1期(上)赤峰学院学报(自然科学版)V01．30No．12014年1月JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)Jan．2014走出均值不等式求最值的误区李培莹(大同大学浑源师范分校，山西大同037400)摘要：均值不等式是高中数学的一个难点，学生在应用均值不等式时往往会忽视均值不等式成立的三个条件，造成学生运用均值不等式求最值的误区．关键词：均值不等式；最值；误区中图分类号：文献标识码：A文章编号：1673—260X(2014)01—0004-02利用均值不等式求函数最值是

2、高中数学非常重要的知识点，也是考试的热点问题，基本上每份试卷都有这方面的y=+I>2、／k’击题目，因此特别提醒大家要注意均值不等式的使用条件，不错误原因分析：由得logax

3、成立g2x+)>12则logax12误区五：条件不够，束手无策y=log2x+—L≤一2针对上面容易出现的误区，我在下文中，举例说明容易出现的误区和解决方法希望能更好地应用均值不等式．当且仅当log2x1几个重要的均值不等式：，即x=2时取等号①a2+b≥2ab甘ab≤—a_Z+bz(a、bER)当且仅当a：b时，所以(x)一2小结：运用均值不等式时必须符合a和b两项都是正“=”号成立；数，否则就会出错．211．2忽视了a=b成立的条件②a+b≥2甘ab≤f1a、b∈R+)当且仅当a=b例2求函数y=兰：的最小值．时，“=”号成立；Vx2x

4、~+3③3+b3+c3／>3abcc*ab≤(a、b、。∈R+)当且仅当错误解法：y=--+≥2、／a=b=c时9“一-”号成立；教师提示：请同学们思考答案是否正确?错在哪里?2错解原因分析：在解答过程中没有验证a=b成立的条④a+b+c≥3甘abc≤(—a+b+c)(a、b、c∈R+)，当且件，事实上方程、／=—，x2+2=1，即x2=一1无解，所仅当a=b=C时，“：”号成立．、／x+2注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、以等号不成立，从而不能直接用均值不等式求解．二“定”、三“等”；正确解法：y：、v／：、／+—一一—一

5、②熟悉一个重要的不等式链：x2+2、／x2+2、／x+2>『2丁≤≤学≤、／半．--2一>--2一Vx2+2‘·1错误原因分析当且仅的x：0时，等号成立．y：2一1．1忽视“一正”即a和b两项都是正数小结：均值不等运用式时必须取到a=b>O时，才能运用例1求函数y=log2x+(0<)【<1)的最大值．均值不等式求最值．IOK~X1-3忽视积或和必须是定值错误解法：由于同学们想到y=x+这个函数可以运用例3设a≥O，b≥0，2a2+b2=2,求a、／T的最大值均值不等式，因而产生了以下解法错误解法：a、／=(2a)、／≤·下4a2+1+b~

6、一4一=2．2和的定值条件不足时配系数争【a2+})+等)】=}【a2+手】≥}、例6已知x∈(0，)，求函数y=x(1—2x)的最大值错解原因分析：运用均值不等式所得结论垒不2分析Ox+(1—2x)=l—x，和不是定值，需要配系数为y=}[2x(1-2x)]．得a2tb2=a2+=手解0xe(o，)，1-2x>O，·‘何：俘≤v'2-．掌．．2x"(1—2x)≤}()}，33v'2-当且仅当2x=1—2x，即x=}时yT啉=．=。：2．3积的定值条件不足时配常数例7已知x>l，求f(x)=x+—的最小值当当-'2-_3_b=X／Y一取得俘

7、即如4，22a一骗分析：由于x+≥2、／r，积不是定值，需要配常使数最大值．解f(x)-x+例4求f_(x)=x2+在(0，∞)的最小值X-l=x_1+X—l“≥2、V／(x-1)‘X—l+l_3，当且仅当x一1=—一，即x=2时，I(x)=错误解法：由_于x2+}≥2、／x2‘}=2、／(1)等号不成立时利用三角换元例8设实数m，Ii，x，y，满m。+n2=1，xZ+y~2，则mx+ny的最大值是多少?确解法：由x2+}=xz+丢+去≥3‘丢去分析：因为仃Ⅸ≤#，y≤#，·．．：mx+ny~<(m2+n2+x2+y2)=}但是我们应该注意

8、到上式是在当且仅当m=x，n=y时才当且仅当x乙：即：时等号成立，能成立，所以结论与题设m2+n2=1，x2+y2=2矛盾．故所求的最XZXZ大值不是3．·．．(x)=．3V一解