抛物线中过对称轴上定点弦的几个性质简版.doc

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1、抛物线中过对称轴上定点弦的几个性质湖北省枣阳市第一中学周贵明性质1过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，则这两点的纵坐标之积为定值。证明：设直线的方程为，由消去可得,从而有即这两点的纵坐标之积为定值。性质2过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线相交于点Q，则点Q在定直线上。证明：由性质1得,抛物线在两点处的切线分别为,,联立解得即Q点在定直线上。性质3过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于两点，自向直线作垂线，垂足分别为、,则三点共线。证明：由性质1得,(－,),,所以直线经过原点，即三点共

2、线。性质4过原点的直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，自作轴的平行线与抛物线相交于点,则直线过定点。证明：设直线为，联立解得，即，联立得，故，，，即∥,三点共线，即直线过定点。性质5过抛物线的对称轴上一点A的直线与抛物线相交于两点，点关于轴的对称点为，则直线过定点Q。证明：设直线的方程为，则有联立，消去可得，从而有，∥,三点共线，即直线过定点。性质6过抛物线的对称轴上一点A作抛物线的切线，则切点的横坐标为。证明：设直线的方程为，切点，联立，消去可得，由得，代入方程得，即，，即切点的横坐标为。性质7过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线

3、相交于两点，点是直线上任意一点，则直线的斜率成等差数列。证明：由性质1得,,直线的斜率=,直线的斜率=,直线的斜率=+=+=所以，+=2，即直线的斜率成等差数列。