求数列的通项公式.doc

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1、求数列的通项公式的常用方法通城一中廖金木一、观察法：给出前几项（或用图形给出），求通项公式。一般从以下几个方面考虑：①符号相隔变化用来调节。②分式形式的数列，注意分子、分母分别找通项，及分子与分母的联系。③分别观察奇数项与偶数项的变化规律，用分段函数的形式写出通项。④观察是否与等差数列和等比数列相联系。⑤分析相邻项的关系。【例1】1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）1,3,7,15,31，……；（2），……；（3），……；（4）6,66,666,6666，……；（5），……；（6）……；练习：1．如图,这是一个正六边形的序列,则第(n)个图

2、形的线段（）.A.5n-1B.6nC.5n+1D.4n+22、数列的一个通项公式是().A．B．C．D．二、定义法：数列为等差（或等比）数列如果已知数列为等差（或等比）数列，求得首项，公差d（或公比q），可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，从而直接写出通项公式。三、公式法当已知条件中出现与的关系式时，常用公式来求通项．例2、已知数列前n项和.求与的关系；（2）求通项公式.解析∵∴，两式相减得∴，令，则∵，∴，从而∴数列的通项公式为练习：3、设数列的前项和为成立，(1)求证：是等比数列。(2)求这个数列的通项公式证明：(1)当又………①……②②—①，当时，有又，

3、为首项为1，公比为2的等比数列，(2)三、归纳猜想法有时求通项时，可以先求出数列的前项，然后观察前项的规律，再进行归纳、猜想出通项，最后予以证明．例3、设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项，求数列的通项公式．分析：先求的前3项，当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得．归纳猜想：，最后可用数学归纳法予以证明。练习．4、数列的前n项和，而，通过计算，，猜想（B）A．B．C．D．5、已知数列的前n项和，，，通过计算，可以猜想______________,解：，则，又则，同理：，，故五、由递推关系求出数列的通项公式常

4、见的几种由递推公式求通项公式的方法（1）累加法形如型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累加，变成，进而求解例4、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析：上述个等式相加可得：∴（2）累积法形如型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例5、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式；∴评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。（3）待定常数法形如型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等

5、比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。例6在数列中，，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，∴，于是∴是以为首项，以3为公比的等比数列。∴（4）取倒数法形如型数列（为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例7、已知，，求。解：∵知，，∴令，则，以下用“待定系数法”可得，∴评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。练习：6、设b>0,数列满足=b，．求数列的通项公式；解：（1）由令，当①当时，②当（5）相

6、除法形如型数列（p为常数）此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.例8设在数列中，，求数列的通项公式。解析：设展开后比较得这时∴是以3为首项，以为公比的等比数列∴即，∴例9在数列中，，求数列的通项公式。解答：∵，∴令，则（），∴，则例10已知数列满足，求数列的通项公式。解答：用“待定系数法”（双系数）令则，∴因此数列是以为首项，为公比的等比数列故练习：7、在数列中，，求数列的通项公式解析：∵，∴，令则∴数列的通项公式8、已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式解：，。所以所以为等差数列，其首项为0，公差为1；（6）取对数形如这种类型一般是等式两边取对数后转化

7、为，再利用待定系数法求解。例11：已知数列｛｝中，，求证数列解答：∵∴令，则以下用“待定系数法”可得∴（7）不动点法形如用不动点法。例12、已知数列｛｝中，解析：练习：9、已知数列｛｝中，解：（8）特征根法形如这种线性关系用特征根法。在数列中，已知，且，求其通项公式方法介绍如下：当时，存在满足（*），即，与比较系数，得，由根与系数的关系知是二次方程两实根，此方程称为递推式的特征方程。易见，只需将递推式中的换成即可得特征方程。由（*）式知数列是等比数列，于是或。当时，将p=1-q代入递推式，得，则是以为首项，为公比的等比数列，从而。例13、在数列中，，，求[解题]递

8、推式特征方