备战2021届新高考数学文理通用考向重点专题3.7 导数与零点（解析版）.docx

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1、3.7导数与零点考向一判断零点个数【例1】设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．【答案】见解析【解析】(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝lnx＋(x>0)，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题意知g

2、(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝，又∵φ(0)＝0.结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，①当m>时，函数g(x)无零点；②当m＝时，

3、函数g(x)有且只有一个零点；③当0时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0

4、，，当时，，所以，所以在上单调递增，当时，，所以，所以在上单调递减，当时，，所以，所以在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；若时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，下面研究的极大值，又，所以，令，则（），可得在上单调递增，在上单调递减，且的极大值，所以，所以，当时，单调递增，所以当时，在上单调递减，所以当时，单调递增，且，，所以存在，使得，又当时，单调递增，所以只有一个零点，综上所述，当时，在上只有一个零点.2．（2019·山东高考模拟

5、）已知函数．（1）当a为何值时，x轴为曲线的切线；（2）设函数，讨论在区间（0，1）上零点的个数．【答案】(1)(2)见解析【解析】（1）的导数为，设切点为，可得，即，解得；（2），当时，，在（0，1）递增，可得，，有一个零点；当时，，在（0，1）递减，，在（0，1）无零点；当时，在（0，）递增，在（，1）递减，可得在（0，1）的最大值为，①若＜0，即，在（0，1）无零点；②若=0，即，在（0，1）有一个零点；③若＞0，即，当时，在（0，1）有两个零点；当时，在（0，1）有一个零点；综上可得，a＜时，在（0，1）

6、无零点；当a=或a≥时，在（0，1）有一个零点；当＜a＜时，在（0，1）有两个零点．考向二已知零点个数求参数【例2】(2019·重庆调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)，当00；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)的单调递增区间为，单

7、调递减区间为.(2)令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－.令g(x)＝x－，其中x∈，则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x<1时，g′(x)<0；当10，∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数f(x)在上有两个零点，g＝3ln3＋，g(3)＝3－，3ln3＋>3－，∴实数a的取值范围是.【举一反三】1．（2019·西南大学附属中学重大校区高考模拟）已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有两个零点，求的

8、取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)当令，可得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增。所以函数减区间在区间，增区间(2)法一：函数定义域为，，则⑴当时，令可得，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增。且，当；当所以所以有两个零点.，符合⑵当，只有一个零点2，所以舍⑶设，由得或，①若，则，所以在单调递增，所以零点至多