2021届高考数学考向击破（文理通用）专题3.8 导数与不等式（解析版）.docx

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1、3.8导数与不等式31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！考向一分离常数法解恒成立【例1】【广东省2019年汕头市普通高考】已知f(x)=12x2+aex-lnx．（1）设x=12是fx的极值点，求实数a的值，并求fx的单调区间：（2）a>0时，求证：fx>12．【答案】见解析【解析】（1）由题意，函数fx的定义域为(0,+∞)，又由f'x=x+aex-1x，且x=12是函数fx的极值点，所以f'(12)=12+ae12-2=0，解得a=3e2e，又a>0时，在(0,+∞)上，f'x是增函数，且f'(12)=0，所以f'x>0，得x>12，f'x<0，得0

2、2，所以函数fx的单调递增区间为(12,+∞)，单调递减区间为(0,12).（2）由（1）知因为a>0，在(0,+∞)上，f'x=x+aex-1x是增函数，又f'1=1+ae-1>0（且当自变量x逐渐趋向于0时，f'x趋向于-∞），所以，∃x0∈(0,1)，使得f'(x0)=0，所以x0+aex0-1x0=0，即aex0=1x0-x0，在x∈(0,x0)上，f'x<0，函数fx是减函数，在x∈(x0,+∞)上，f'x>0，函数fx是增函数，所以，当x=x0时，fx取得极小值，也是最小值，所以fxmin=f(x0)=12x02+aex0-lnx0=12x02+1x0-x0

3、-lnx0,(0g1=12，即fx≥fxmin>12成立，【举一反三】1.已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．即f′(x)＝x

4、ex＋ex－4，则f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为3x＋y－2＝0.(2)由f(1)≥0，得a≥>0，则f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为≥对任意的x>0恒成立．设函数F(x)＝(x>0)，则F′(x)＝－.当00；当x>1时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以F(x)max＝F(1)＝.于是≥，解得a≥.故实数a的取值范围是.考向二拆分法构造函数【例2】【河北省衡水2019届高三四月大联考】已知曲线f(x)=axlnx-2ax(a≠0)在点P(1,f(1))处的切线与直

5、线x-y-1=0垂直.（1）求函数f(x)的最小值；（2）若1

6、)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(e)=-e.（2）要证f(x)0，所以即证lnx-x<2-m-lnxx.记F(x)=lnx-x，则F'(x)=1x-1，所以当x∈(0,1)时，F'(x)>0，F(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，F'(x)<0，F(x)单调递减，所以当x=1时，F(x)有最大值F(1)=-1.又记G(x)=2-m-lnxx，则G'(x)=-1-lnxx2，所以当x∈(0,e)时，G'(x)>0，g(x)单调递减；当x∈(e,+∞)时，G'(x)>0，G(x

7、)单调递增，所以G(x)的最小值为G(e)=2-m-1e.因为1-1e>-1，所以G(x)min>F(x)max，所以f(x)0)，①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，则当0