复数的减法及其几何意义.doc

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1、复数的减法及其几何意义    教学目标  1.理解并掌握复数减法法则和它的几何意义.  2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.  3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).教学重点和难点  重点:复数减法法则.  难点:对复数减法几何意义理解和应用.教学过程设计(一)引入新课  上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)(二)复数减法  复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为(+i)-(+i)=(-)+(-)i,1.复数

2、减法法则  (1)规定:复数减法是加法逆运算;  (2)法则:(+i)-(+i)=(-)+(-)i(,,,∈R).  把(+i)-(+i)看成(+i)+(-1)(+i)如何推导这个法则.(+i)-(+i)=(+i)+(-1)(+i)=(+i)+(--i)=(-)+(-)i.  推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.  推导:设(+i)-(+i)=+i(,∈R).即复数+i为复数+i减去复数+i的差.由规定,得(+i)+(+i)=+i,依据加法法则,得(+)+(+)i=+i,依据复数相等定义,得  故(+i)-(+i)=(-)+(-)i.

3、这样推导每一步都有合理依据.  我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数.  复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即(+i)±(+i)=(±)+(±)i.(三)复数减法几何意义  我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?  设z=+i(,∈R),z1=+i(,∈R),对应向量分别为,如图  由于复数减法是加法的逆运算,设z=(-)+(-)i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以为一条对角线,1为一条边画平行四

4、边形,那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差(-)+(-)i对应,如图.  在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量2吗?   还有.因为OZ2Z1Z,所以向量,也与z-z1差对应.向量是以Z1为起点,Z为终点的向量.  能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.(四)应用举例      在直角坐标系中标Z1(-2,5),连接OZ1,向量1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,-2),向量2与复数对应,连接,向量与的差对应(如

5、图).  例2 根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.  解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2-z1的模.如果用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=

6、z2-z1

7、.  例3 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.  (1)

8、z-1-i

9、=

10、z+2+i

11、;  方程左式可以看成

12、z-(1+i)

13、,是复数Z与复数1+i差的模.  几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成

14、z-(-2-i)

15、,是复数z

16、与复数-2-i差的模,也就是动点Z与定点(-2,-1)间距离.这个方程表示的是到两点(+1,1),(-2,-1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点(+1,1),(-2,-1)为端点的线段的垂直平分线.  (2)

17、z+i

18、+

19、z-i

20、=4;  方程可以看成

21、z-(-i)

22、+

23、z-i

24、=4,表示的是到两个定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.  (3)

25、z+2

26、-

27、z-2

28、=1.  这个方程可以写成

29、z-(-2)

30、-

31、z-2

32、=1,所以表示到两个定点(-2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,

33、这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.  由z1-z2几何意义,将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=

34、z1-z2

35、,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.  例4 设动点Z与复数z=+i对应,定点P与复数p=+i对应.求  (1)复平面内圆的方程;  解:设定点P为圆心,r为半径,如图  由圆的定义,得复平面内圆的方程

36、z-p

37、=r.  (2)复平面内满足不等式

38、z-p

39、<r(r∈R+)的点Z的集合是什么图形?  解:复平面内满足不等式

40、z-p

41、<r(r∈R+)的点的集合是

42、以P为圆心,r为半径的圆面部分(不包括周界).利用复平面内两点间距离公式,可以用复数解决解析几何中某些曲线方程.不等式等问题.(五)小结  我们通过推导得到复数减法法则,并进一步

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