利用对勾函数解决高考数学最值问题.doc

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1、利用对勾函数解决高考数学最值问题广州市海珠区六中珠江中学李玲【内容摘要】最值问题是各省高考必考内容，然而试题命题新颖，思路开阔，对学生的综合素质和解题要求较高。而教材针对最值问题的解题方法缺乏系统性，而我们教师也为考生备考缺少既有系统性而又不超纲的资料而犯愁。为此笔者广泛收集，将近几年的全国部分省市关于最值问题考查试题进行精选，对三大转化为对勾函数方法进行详解，并对每到例题都逐一进行了详细解析。【关键词】对勾函数最值问题消元法基本不等式万能求导法关于函数的最值，高考中无处不在，无处不有。求函数值域或者最值问题，

2、考查频率非常大。在每张卷子里，在小题中以选择题和填空题为主；大题中以解答题出现，多数为压轴题。高考重点以三种方式考查求函数的最值或值域，每年必考的基本不等式法求最值、函数单调性法求最值（在数列里涉及到最值时，大多数采用此方法），如果前两个方法还不能熟练掌握，我们还可以利用万能的导数法进行求解。所以，对于函数求最值，学生必须掌握这三种解题方法，而这三种方法也是出现的平率最高的。在命题规律方面，用基本不等式法求函数最值在高考中是每个省份必考的，考生做此类问题，一是熟悉命题人在哪里容易设置陷阱；二是重点掌握解题关键点

3、，比如如何化正不成立怎么做、等号不成立时如何处理？要想突破这类问题，大家一定要把解题的模板牢牢地记住，便可以找到解这类题的方向、目标还有思路；二是考生遇到这类问题，不要怕，永远往对勾函数上放。对勾函数图像化成对勾函数形式常备技巧：1、数字1的代换；2、消元意识：三元化两元、两元化一元；三、换元思想。等号不等式破题利器：1、对勾函数的单调性；2、导数法当且仅当时，等号成立，使用条件：一正，二定，三相等。下面笔者以6道题的解题策略来谈一下自己的做法和感悟。方法一：数字1的代换化成对勾函数形式例1（2013天津理）设

4、，则当=时，取得最小值破解秘籍：1、抓题型特点；2、化对勾函数；3、等号。【答案】-2【解析】因为，所以，即，当且仅当，即时取等号，当时，；当时，，所以的最小值为，此时，所以，解得。【考点定位】本小题主要考察均值不等式的变形应用（1的代换），要注意应用均值不等式成立的条件，熟练不等式的基础知识是解答好本类题目的关键。例2（2009山东12）设满足约束条件，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．破题秘籍：1、化对勾；2、前面线性规划，找等量关系。【答案】A【解析】不等式表示的平面区域如图所

5、示阴影部分，当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大12，即，即，而，故选A。例3直线恒过定点A，且点A在直线上，则的最小值为（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】直线恒过定点，把A代入直线得：，所以，则的最小值为，故选B。【考点】基本不等式【点评】本题主要考查直线过定点问题和基本不等式的运用，考查基础知识的综合运用。例4（2009天津理6）设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．【答案】B【解析】因为，所以，，当且仅当，即时，“=”成立，故选择B。例5（2011湖南理10）设，且，则

6、的最小值为。【答案】9【解析】由，且可知：，则（当且仅当时，取得等号）例6（2010四川理）设，则的最小值是（）A．2B．4C．D．5【答案】B【解析】当且仅当时等号成立，如取满足条件。方法二：通过消元思想化成对勾函数的形式我们会发现，这类问题经常会出现，如很多的变量，那考生在遇到这种问题的时候，必须把这些变量可能地减少，需要考生具备消元能力。消元必须找到等量关系，而最终在使用基本不等式在解决这类题的时候，考生务必掌握二元变一元、三元变二元的思想。但是有些问题不是我们想象得那么美好，这个时侯会发现，整个式子就是

7、三元的，再怎么化，最多只能化成二元的，此时命题人主要考查什么思想、如何如理问题，那便是利用“齐次式”。因此当看到三元问题，而又是“齐次式”时，只需要将三元化为二元，再把二元的作为一个整体弄成一元的形式。我们通过题目，来看看上述方法如何应用。多元变量，消元：利用消元法来构建对勾函数，也就是最终化为对勾函数的目的是一定要保证在使用基本不等式的时候，满足第二条件。例1（2013山东理）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3【答案】B【解析】，当且仅当时成立，因此，所以【考点定位】本题考查

8、基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想。基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值。例2（2008江苏）的最小值为。【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用，由得，代入得，当且仅当时取“=”。例3（2010届江苏高三联考）已知实数满足：，且，则的最小值为。【答案】6【解析】由，知，又可化，所以，从而，