初三数学第8讲：圆的有关概念 教师版 -广渠门刘文会.doc

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1、第八讲圆的有关概念一、圆的相关概念1、圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的

2、弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、圆的基本性质（图十四）（图十五）（图十六）1、圆的对称性：（1）圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180º能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（2）圆是轴对称图形：经圆心任意画一条直线，并沿直线将圆

3、对折，直线两旁的部分能够完成重合，所以圆是轴对称图形。每一条直径所在的的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。（圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线）2、垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图十四，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB,垂足为E,则AE=EB,=，=。（2）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（4）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（5）圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图十五，如果CD∥AB,则

4、=（6）a经过圆心，b垂直于弦，c平分弦（被平分的弦不是直径），d平分弦所对的优弧或者劣弧，一条直线如果满足上面四项条件中的两项，也一定满足其它两项。3、圆心角、弧、弦、和弦心距之间的关系（1）在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等。（2）在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或者两条弦的弦心距中有一对量相等。那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如图十六，⊙O中，∠AOB=∠COD,AB=CD,=，OM=ON,四个条件中有一个条件满足，其它三个结论也相应成立。（图十七）（图十八）4、圆周角定理及其推论（1）在同圆或者等圆中，

5、同弧或者等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。如图十七所示，圆周角∠A和圆心角∠BOC同对着，则∠A=∠BOC（2）同弧或等弧（决对不能改成同弦或者等弦）所对的圆周角相等，同圆或者等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。（3）半圆（或直径）所对的的圆周角等于90º，90º的圆周角所对的弧也相等。（4）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。5、圆内接四边形的定理（1）圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角(与某个外角相邻的内角的对角)。如图十八，∠A+∠C=180º，∠B+∠2=180º，∠1=∠B.（2）如四边

6、形的一组对角互补，或者四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形内接于圆。圆的概念及性质弦的概念及性质弧的概念及性质从前，有一个圆，她每天不停地滚动。有一天，她失掉了一小片，使自己不完整了，这对她来说是个天大的打击，她为了寻找那一小块碎片，用自己残缺的身子继续滚动，由于缺了一小片，她的滚动力比以前慢了好多，她开始憎恶自己的无能；然而她却慢慢发现，自己滚动的慢了，却正好可以领略沿路的风光：向花儿问好，与虫儿聊天，度过了一般美好的时光。当然，她最终找到了自己的那一小块碎片。当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时，却因为太快，再也看不到那些花儿、虫儿。尽管现在，她又完美了，

7、可实际呢？有人认为，失去完美是世界最大的挫折。由此，我想到维纳斯。她失去双臂，这是一个巨大的挫折，可她，却被誉为“美神”、“完美之神”，或许在她丧失双臂，遭受挫折，失去所谓“完美”的同时，又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。由此，我想到贝多芬。对于一位音乐巨匠，失去听力和死亡几乎可以划等号。但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。我想：如果贝多芬没有失聪，没有遭受挫折，他的交响是否还会如此的意味深远呢？其实相较之下，我更喜欢另一个有关圆的故事——一个圆，不小心掉了一小片，这一小片是她最美丽的部分。她对于这个