初三数学第8讲:圆的有关概念 教师版 -广渠门刘文会.doc

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1、第八讲圆的有关概念一、圆的相关概念1、圆的定义(1)描述性定义:在一个平面内,线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点叫做圆心,叫做半径.(2)集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径.(3)圆的表示方法:通常用符号表示圆,定义中以为圆心,为半径的圆记作”“,读作”圆“.(4)同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆.注意:注意:同圆或等圆的半径相等.2、弦和弧弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径:经过圆心的

2、弦叫做圆的直径,直径等于半径的倍.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以为端点的圆弧记作,读作弧.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.二、圆的基本性质(图十四)(图十五)(图十六)1、圆的对称性:(1)圆是中心对称图形:将圆绕圆心旋转180º能与自身重合,因此它是中心对称图形,它的对称中心是圆心。(2)圆是轴对称图形:经圆心任意画一条直线,并沿直线将圆

3、对折,直线两旁的部分能够完成重合,所以圆是轴对称图形。每一条直径所在的的直线都是它的对称轴,所以圆有无数条对称轴。(圆的对称轴不是直径,而是直径所在的直线)2、垂径定理及其推论(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。如图十四,CD是⊙O的直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E,则AE=EB,=,=。(2)平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(3)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(4)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。(5)圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图十五,如果CD∥AB,则

4、=(6)a经过圆心,b垂直于弦,c平分弦(被平分的弦不是直径),d平分弦所对的优弧或者劣弧,一条直线如果满足上面四项条件中的两项,也一定满足其它两项。3、圆心角、弧、弦、和弦心距之间的关系(1)在同圆或者等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,弦心距相等。(2)在同圆或者等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或者两条弦的弦心距中有一对量相等。那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如图十六,⊙O中,∠AOB=∠COD,AB=CD,=,OM=ON,四个条件中有一个条件满足,其它三个结论也相应成立。(图十七)(图十八)4、圆周角定理及其推论(1)在同圆或者等圆中,

5、同弧或者等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。如图十七所示,圆周角∠A和圆心角∠BOC同对着,则∠A=∠BOC(2)同弧或等弧(决对不能改成同弦或者等弦)所对的圆周角相等,同圆或者等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。(3)半圆(或直径)所对的的圆周角等于90º,90º的圆周角所对的弧也相等。(4)如果三角形一边的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。5、圆内接四边形的定理(1)圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角(与某个外角相邻的内角的对角)。如图十八,∠A+∠C=180º,∠B+∠2=180º,∠1=∠B.(2)如四边

6、形的一组对角互补,或者四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形内接于圆。圆的概念及性质弦的概念及性质弧的概念及性质从前,有一个圆,她每天不停地滚动。有一天,她失掉了一小片,使自己不完整了,这对她来说是个天大的打击,她为了寻找那一小块碎片,用自己残缺的身子继续滚动,由于缺了一小片,她的滚动力比以前慢了好多,她开始憎恶自己的无能;然而她却慢慢发现,自己滚动的慢了,却正好可以领略沿路的风光:向花儿问好,与虫儿聊天,度过了一般美好的时光。当然,她最终找到了自己的那一小块碎片。当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时,却因为太快,再也看不到那些花儿、虫儿。尽管现在,她又完美了,

7、可实际呢?有人认为,失去完美是世界最大的挫折。由此,我想到维纳斯。她失去双臂,这是一个巨大的挫折,可她,却被誉为“美神”、“完美之神”,或许在她丧失双臂,遭受挫折,失去所谓“完美”的同时,又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。由此,我想到贝多芬。对于一位音乐巨匠,失去听力和死亡几乎可以划等号。但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。我想:如果贝多芬没有失聪,没有遭受挫折,他的交响是否还会如此的意味深远呢?其实相较之下,我更喜欢另一个有关圆的故事——一个圆,不小心掉了一小片,这一小片是她最美丽的部分。她对于这个

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