初三数第2讲圆教师版.doc

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1、第二讲圆一、知识梳理1、圆的有关概念及性质圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．2、垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦

2、，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．3、圆心角、弧、弦之间关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如

3、果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4、圆心角与圆周角的关系一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．经典例题讲解【例题1】判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆；(2)弦是直径；(3)长度相等的两段弧是等弧；(4)直径是圆中最长的弦.〖难度分级〗A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗巩固圆的基本概念〖解题思路〗(1

4、)因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；(2)直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；(3)只有在同圆或等圆中，能够互相重合的两段弧才是等弧，故错；(4)直径是圆中最长的弦，正确.〖参考答案〗(1)√(2)×(3)×(4)√.举一反三【变式1】下列说法错误的是()A.半圆是弧B.圆中最长的弦是直径C.半径不是弦D.两条半径组成一条直径〖解题思路〗弧有三类，分别是优弧、半圆、劣弧，所以半圆是弧，A正确；直径是弦，并且是最长的弦，B正确；半径的一个端点为圆心，另一个端点在

5、圆上，不符合弦的定义，所以不是弦，C正确；两条半径只有在同一直线上时，才能组成一条直径，否则不是，故D错误.〖参考答案〗D【例题2】已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为()A.2B.3C.4D.5〖难度分级〗A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗巩固垂径定理〖解题思路〗在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.〖参考答案〗解：如图，过点P作直径AB，过点

6、P作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC由勾股定理，得∴CD=2PC=8，又AB=10∴过点P的弦长L的取值范围是弦长L的整数解为8，9，10，弦长等于9的弦有2条，共4个答案：C总结升华：本题中很多条件是“隐性”出现的，或者称之为“隐含条件”.我们在解题时，要善于挖掘隐含条件，识别隐含条件的不同表达方式，将其转化为容易理解的题目，化难为易，这也体现了转化思想在解题中的具体应用.【例题3】.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.〖难度分级〗B类〖试题

7、来源〗经典例题〖选题意图〗加深垂径定理的理解、应用。〖解题思路〗⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.〖参考答案〗解：(1)如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.又∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm=8+6=14(cm)(2)如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、

8、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm.总结升华：解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况，要特别注意。【例题4】.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.〖难度分级〗B类〖试题来源〗经典例题〖选题意图