初三数学第7讲图形旋转的应用 教师版 -广渠门刘文会.doc

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1、第七讲旋转图形的应用三大模型之共顶点等腰三角形旋转模型(手拉手”模型)证明全等的基本思想“”以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化图形旋转的全等图形旋转在综合题中的应用旋转类几何作图与计算【例1】如图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角a为______°．解析：根据的平移性质，对应线段平行，再根据

2、旋转角为22°进行计算．解答：根据题意，得∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，根据三角形的外角的性质，可得三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．故选A．答案：A【例2】如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形A′B′C′D′，则它们的公共部分的面积等于______．解析：作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，根据绕顶点A逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积．如图，作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，∵四边形WEFD是矩形，

3、∠BAB′=30°，∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，∴B′F=AB′sin60°=，AF=AB′cos60°=，WE=DF=AD-AF=，EB′=WE′cot60°=，EF=B′F-B′E=，∴S△B′FA=，S△B′EW=，SWEFD=，∴公共部分的面积=S△B′FA+S△B′EW+SWEFD=；答案：【例3】如图所示：中，，，是内的一点，且，，，求的度数．解析：以C为旋转中心,将△CPA旋转90°,AC与BC边重合,连接DP由题意可知：DC＝CP＝2,在Rt△C

4、PD中,由勾股定理可得：DP＝2√2,∠PCD＝45°由题可知：在△BPD中,BP＝1,DB＝AP＝3,DP＝2√2,∴DB²＝DP²＋BP²,∴△BPD是以DB为斜边的直角三角形,即∠BPD＝90°∴∠BPC＝∠BPD＋∠PCD＝135°答案：连接BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，．又∵PB

5、＝1，则．∵ ，∴ ，∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°【例4】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧．若则BE=______．解析：根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解答．∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°-90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°-45°=15°∴

6、∠CDB=180°-135°-15°=30°，∠BDE=60°-30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD∴△BCD≌△BED∴BE=CB=×sin45°=1∴BE=1．答案：BE=1．【例5】以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．⑴如图①当为直角三角形时，与的位置关系是；线段与的数量关系是；⑵将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．解析：（1）ED=2AM，AM⊥E

7、D．延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延长MG交DE于H，因为∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°这样就证明了AM⊥ED；（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出△FAB≌△EAD，利用相似三角形的性质得到BF=DE，∠F=∠AEN，从而证出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根据AM∥FB，

8、可得到.答案：（1）ED=2AM，AM⊥ED；证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H． ∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180° 又∵∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠ABG=∠DAE． 再证：△DAE≌△ABG ∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA． 延长MA交DE于H， ∵∠BAG+∠DAH=90°， ∴∠HDA+∠DAH=90°． ∴AM⊥ED． （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．