文科高三数学第13讲：三角函数2（教师版）——广渠门刘春英.docx

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1、第13讲三角函数2--三角函数图像与性质（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)　　(π，0)　　(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x

2、x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__x＝kπ＋(k∈Z)___；对称中心：_(kπ，0)(k∈Z)__

3、_对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋，0)(k∈Z)__对称中心：_(k∈Z)__周期2π_　2π　π单调性单调增区间_[2k单调增区间[2k单调增区间_(kπ－，2kπ＋](k∈Z)___；单调减区间[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)__π－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______π－，kπ＋)(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.对函数周期性概念的理解一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就

4、叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有

5、界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝

6、sinx(

7、t

8、≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin；(2)y＝sin.1.准确理解函数的性质2.掌握三角函数的周期性单调性3.熟练掌握三角函数图像的画法（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1.函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致

9、为(　　)【答案】：选C　【解析】：本题主要考查数形结合思想，以及对问题的分析判断能力．首先知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x∈[0，π]的情形，又当x∈[0，π]时，f(x)≥0，于是排除A.∵f(x)＝(1－cosx)sinx，∴f′(x)＝sinx·sinx＋(1－cosx)cosx＝1－cos2x＋cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1，令f′(x)＝0，则cosx＝1或cosx＝－，结合x∈[－π，π]，求得f(x)在[0，π]上的极大值点为π，靠近π，可知C对．例2函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)A.B．πC．2

10、πD．4π【答案】：选B　【解析】：∵T＝＝π，∴B正确．例3设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．【答案】：π【解析】：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.例4已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x

11、＋，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．【答案】：T＝＝π，最