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1、浅谈数学化归思想盛爱军著名的数学家路莎·彼得（PozsaPeter）在她的名著中曾对化归方法作过一个非常生动而风趣的描述：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，现在的任务是烧水，你想烧开水，应当怎么做？当然，办法很简单，在水壶中放上水，点燃煤气，在把水壶放到煤气灶上。如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那么你又应当怎么做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做
2、，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。”在这里所说的就是化归思想。数学家在解决烧开水问题时，不是对问题进行正面攻击，而是巧妙地将它变形，把问题化归为已经能够解决的问题，这种方法就是化归方法。一、化归思想及其中数学教学中的意义 所谓化归,就是转化。而它较之转化又具有较强的性和方向性,是用联系、运动、发展变化的观点来看待问题,把未解决的问题通过某种转化归结为已经解决或易于解决的问题。从本质上说,就是对问题进行变形,促使矛盾转化。数学问题的解决都可归结为化归思想的应用,化归就
3、是解决问题。化复杂为简单,化陌生为熟悉,化抽象为具体,化无限为有限……就是化归思想的具体体现。无论从数学课程内容的展开,还是数学问题的编拟,都为化归思想的培养提供了丰富的材料,学生新知识的学习无不化归到已有知识基础上来获得。因此,我们必须认识到学生在校学习期间形成了化归思想,就为他们的终身学习打下了良好的基础。而化归思想并不是教给学生一个模式就能解决问题,而是需要通过不断的渗透和长期的培养训练才能逐渐形成的。 中学数学教材中的化归思想无处不在,且贯穿于教学的全过程中。如空间中的线线平行、线面平行、面面平
4、行之间的相互转化关系;三角函数中的化多角形式单角形式、化未知角为已知角、化多种函数名称为一种函数名称、化高次为低次、化特殊为一般;等等。数学思想,如影随形。笔者认为,必须充分利用教材提供的丰富材料,使学生逐步形成运用化归思想探索和解决问题的意识,树立知难而进、化难为易的数学精神。例1已知函数，当是减函数时，求使的定义域为值域为的取值范围[6]。解要使原函数有意义必有，即，所以函数的定义域为，故。当时在定义域上的值域为。所以，是方程的两个不同实根。设，则的图象在上有两个不同的交点，其充要条件是：。注：本题充
5、分地体现了化归的思想，由函数定义域与值域的对应关系对数方程组代数方程组是的两根一元二次方程的实根分布不等式组。归结为已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题。例2如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD,E、F分别为CD和PB的中点。设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。（2005全国Ⅱ）分析：本题可以利用空间向量来解答，建立直角坐标系找到相关点的坐标，再利用向量的知识求解。但本题关键的地方是把立体几何的知识转化为平面几何的知识和把求一个角转化为求另一
6、个角。解：以AD所在的直线为轴，CD所在的直线为轴,AXYDZPBCFEOPD所在的直线为轴,D为坐标原点建立直角坐标系，如图：设BC＝，AB=，则，A=(,0,0)B=(,,0)C=(0,-,O)E=(0,,0)F=(,,)P=(0,0,）所以=(,,)=(,0,)=(,-,-)=(-,-,0)所以=0,=0所以,且AF和EF是平面AEF内两条相交直线。因此BP面AEF.因为AC与平面AEF所成的角可以转换为求异面直线AC与BP的夹角。因为，所以直线AC与BP的夹角为，所以AC与平面AEF所成的角为，即
7、。例3求值：cot10°－4cos10°。分析：分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。解1cot10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）解2cot10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝＝（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）解3cot10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）注：无
8、条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。一般地，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。二、化归方法的基本原则化归方法的基本原则主要有熟悉化原则、正难则反原则、简单化原则、具体化原则、凑的原则等。下面就这几个原则举例说明之。（一）熟悉化
