浅谈化归思想

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1、浅谈化归思想东莞中学数学科刘瑞红论文摘要：数学学科的全部内容，是山数学问题、数学知识、数学方法和数学思想组成的。其中数学方法是数学活动的行为规则,而数学思想乂是数学方法的灵魂。在中学数学教学中，数学思想对于培养学生的创造思维能力和数学素养具用十分重耍的作用,其中化归思想在中学数学中的应用广泛,本文将以举例子的形式，从定义、化归原则、化归策略介绍化归思想。关键词：数学思想；化归思想；化规策略；代换一什么是化归思想能够得到A的解决。定义：把问题A通过一定的手段进行转化，归结为问题B,而问题B是相对容易解决的问题或已卫固定的解决程式的问题，且通过B的解决,A（化归对象）>B（化归耳标）难转化

2、（化归途径）▼A的解决述原B的解决二化归的原则（一）•划归目标简单化原则：主耍表现为问题结构表示形式的简单。如问题的方式、方法上的简单。例1.已知:时（2疋一1）+妙（1一2兀2）=4/,/一方2工0,求于（X）。解：设2x2-l=n则原式可变形为:af(t)^bf(-t)=2t^-2把f换成一/,则af(-t)+hf(t)=-2t+2①，②式联立可得：(a2-b2)f(0=(2a+2b)t+2a-2b・.・a2-h2^0・••得")=二+Wa-ba+b宀0.•■得f(t)=——+——a-ba+b2?即/(x)二二兀+二a-ba22即2总y例2.已知：ci,b,c是三角形的三条边，求证

3、：bx2+(/?2+c2-a2)x+c2=0无实根。证明：A=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(2/?ccosA)2-4b2c2=4Z?2c2(cos2A-l)=-4/?2c2sin2A<0(A工0)所以，原方程无实根。(二)和谐统一性原则：即化归的方向应朝着使待解决问题在表现形式能够趋于和谐,在量、形、关系方面趋丁•统一。例3.在ABC中，A=2C,求证：a-c>-.3分析:在这道题屮，岀现了角和边，不和谐，我们要想法把它变为和谐统一，这时我们就要想到用正弦定理，由边向角转化，趋于形式上的和谐。证明：应用正弦定理，原不等式-c>-<=>sinA-sinC>-sinB33又・・•

4、B=7r-(A+C)=7r-3C/.sin2C-sinC>—sinB变形为sin2C-sinC>—sin3C331asin2C-sinC>—sin3C<=>6cosC•sinC-6sinC-4sin3C>0(sinC>0)<=>3cosC-3+2-2cos2C>0<=>(2cosC一l)(cosC-1)<0oC<60。<=>3cosC-3+2sin2C>0<=>2cos2C-3cosC+1v0o2cosC-1〉0ocosC〉一2VB=180°-3C>0,.C<60°(三)具体化归原则：rti抽象的语言表示到具体的形式或具体的数。例4.定义在R上的奇函数/任)是増函数，偶函数g(jc)

5、在［0,+oo］上的函数与/(兀)的图象重合，设a>b>0，给出下列命题①/(b)-g(-d)>g⑷_g(-b)②f(b)-g(-a)g(b)一g(-a)④f(a)一f(-b)

6、、降维的原则。三化归策略（-）RMI原则：通过找适当的映射实现化归途径，被著名数学方法论专家徐利治称为关系映射板演原则，简称RMI原则。反演映射（Q步骤：关系T映射T定映T反演常见的RMI原则解题的方法有：解析法、复数法、函数法、换元法、初等变换法,数学模型法等。1•复数法例5.L1矢口：cosx+cosy+cosz=0,sin兀+siny+sinz=0,..cos2x+cos2y+cos2z=0求证:sin2x+sin2y+sin2z=0证明：设©=cosx+/sinx,z2=cosy+isiny,z3=cosz+/sinzTcosx+cosy+cosz=(Xsinx+siny+si

7、nz=0,z.Z]+z2+z3=0两边平方得：zf++2(Z16+Z2Z3+乙忆3)=0Z忆乂3(—+—+—)=可心3(cosx+cosy+cos+z(sinx+siny+sinz))=0Z]SZ3cos2x+cos2y+cos2z=0sin2x+sin2y+sin2z=02.换元法面对i个数学问题，如果直接求解有怵I难，或不易下手，或由问题的条件难以直接得出结论，往往需要引入一个或儿个新“元”代换问题中原来的“元”，以改变问题的结构与面貌，使