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1、浅谈化归思想在初等数学中的运用华南师范大学盐城弘成学苑数学教育W320609121270003滨海县蔡桥初级屮学马红［摘要］数学化归思想是把数学中未解决的问题转化为已解决的问题，也就是通过数学的内部联系和矛盾转化，归结为规范问题或可求解问题的思想方法。本文通过化繁为简、化未知为已知、化高阶为低阶等九种化归方法，阐明了化归思想在初等数学中的运用。［关键词］初等数学化归思想矛盾转化］数学在其漫长的发展过程中，不仅建立了严密的知识体系，而且形成了一套行之有效的思想和方法。化归原则就是其中带有普遍意义的方法原则之一。不仅众多的数学思想隶属于化归范畴，而月•许多重要的思想和研究策略也可以化归原则的
2、转化矛盾思想予以概括。诸如多元向一元、高次向低次、超越式向代数式转化；儿何中空间向平面、曲线向直线转化；分析中无限向有限、“变”向“不变”的转化等等，都无不体现出深刻物化意识。化归原则是通过数学内部的联系，在推理转变中实现问题的规范化，也就是把待解决的问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决。数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力.抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在.因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及屮考试题中所体现的数学思想和方
3、法，培养用数学思想方法解决问题的意识.所谓化归思想就是化繁为简、化未知为已知、化难为易.如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.一、化繁为简有些数学问题结构繁杂，使用常规解法的过程繁琐，对这类问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径。（一）采用变量代换化归恰当地引入变元，可以化难为易，化繁为简，化陌生为熟悉，从而实现命题转化，最终达到解决问题的目的。2>22>2例1已知a>l,b>l。证明-^-+—>8-^+—>8.(第26届独联体数b-a-1h-la
4、-1学奥林匹克试题)分析若从正面直接证明，有一定的难度.但注意到题设中a>l,b>l不妨引入变量x,y,且x>0,y>0,令x=a-l,y=b-l.则原命题转化为证明吐91+空厂8.而事实上,业4迟亜+y兀y色疋=4(-+^-)>8.命题得证.xyx(二)结合函数的某些性质化归_2x2y2z一1-〒1—才—将一个抽象难以理解的问题化归为一个具体较容易理解的问题，从而使原问题解决。例2已知x+y+z二xyz,证明二^-+二^+-l-y分析由题设的结构特点联想到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,又由结论的单个特点联想到tan2A=7故构造辅助函数，而题设可转1-tan
5、2A化为在△ABC屮有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,月.A+B+C二兀，故2(A+B)=2n一2C.tan2A+tan2B=(l~tan2Atan2B)tan2(A+B)=(l~tan2Atan2B)tan(2n-2C)=-tan2C+tana2Atan2Btan2C•:tan2A+tan2B+tan2C=tan2A+tan2B+tan2C.在H常教学屮确实要尽可能的化繁为简，让学生便于接受知识，便于记忆•特别是在讲计算题时，会让学生更方便的掌握知识.二、化未知为已知事物之间总是有着内在联系，抓住条件与结论之间的联系点。利用化归思想解题是我们常用的方法。In例3
6、已知20=0+arcsin(asin©),求证°=0+arctan(tan0).其屮0.(p均1+a为锐角，q工-1,cos(〃-0)工0.分析己知条件中出现2e-(p及0,而结论中出现(p-0及〃，因此采用20—(p=—(0—&)及©=&+(俨一&)进行变换，由已知，0—(0—&)=arcsin(asin(&+°—&))•可得sin[&-(©-&)]二&sin(&+(0—0))，即sin&cos(0—。)-cos&sin(©—&)-asin^cos(©—&)+acosOsin(©—&)，从而(1—a)sin&cos(0—&)二(1+&)cos&sin((p—0);因为qh-1,cos(
7、O-0)hO,所以tan(0-&)=―tan。，由于〃，炉为1+d锐角，于是(p_eE(—,—),(p_e=arctan(-~-tan0),即(p=3+221+a—CI八arctan(tan&)1+a三、化高阶为低阶对于某些议方程、函数等变量的指数高。往往难以下手解决，这时可以想办法对幕指数阶处理，使问题变得较简单一些，再进行分析处理。降阶包括：降次、消元、递推、支解等。其关键在于寻找下台阶的关节点。例4已知AABC的三边a,b,
